Question

Постройте график функции y=(x^2+x)|x|/x+1 и определите, при каких значениях с прямая y=с не имеет с графиком ни одной общей точки/

Answer 1

Область определения: функция существует, если знаменатель дроби не обращается в нуль.

$x+1\ne 0\\ x\ne-1$

Упростим исходную функцию

$\displaystyle y=\frac{(x^2+x)|x|}{x+1}=\frac{x(x+1)|x|}{x+1}=x|x|=\left \{ {{x^2,~~ x\geq0} \atop {-x^2,~x<0}} \right.$

y = c - прямая, параллельная оси Ох.

При с = - 1 графики не имеют общих точек

Answer 2

Для начала, рассмотрим функцию y=(x^2+x)|x|/x+1.

Функция имеет две области определения: x>0 и x<0, так как в знаменателе есть выражение x+1, и оно не может быть равным нулю.

1. При x>0: В этой области определения знак модуля равен единице, т.е. |x| = x. Функция преобразуется к виду: y=(x^2+x)x/x+1 = x(x+1)/(x+1) = x. Таким образом, при x>0 функция y(x) просто равна x.

2. При x<0: В этой области определения знак модуля равен -1, т.е. |x| = -x. Функция преобразуется к виду: y=(x^2+x)(-x)/x+1 = (x^3+x^2)/x+1. Найдем вертикальные асимптоты этой функции: x+1=0 => x=-1. Таким образом, при x<-1 функция имеет вертикальную асимптоту x=-1. Теперь рассмотрим, при каких значениях c прямая y=c не имеет общих точек с графиком функции.

3. Рассмотрим случай c=0: Если c=0, то прямая выглядит как y=0. График функции y(x) будет пересекать прямую y=0 только в точке x=0, так как при x>0 функция y(x) равна x, что не равно нулю, а при x<0 функция имеет вертикальную асимптоту в точке x=-1. Таким образом, график функции имеет одну общую точку с прямой y=0 при x=0.

4. Рассмотрим случай c<0: Если c<0, то прямая выглядит как y=c. График функции y(x) будет пересекать прямую y=c только при x>0, так как функция равна x при x>0. Таким образом, график функции имеет одну общую точку с прямой y=c при x=c.

5. Рассмотрим случай c>0: Если c>0, то прямая выглядит как y=c. График функции y(x) не будет пересекать прямую y=c ни в одной общей точке, так как при x>0 функция равна x, а значит значения функции всегда будут больше значения c. Таким образом, график функции не имеет общих точек с прямой y=c при c>0.

Теперь построим график функции y=(x^2+x)|x|/x+1.


На графике видно, что функция y(x) = x при x>0 и приближается к вертикальной асимптоте x=-1 при x<0. Прямая y=0 пересекает график функции при x=0. Прямая, соответствующая положительным значениям c, не имеет общих точек с графиком функции. При x=c функция y(x) = x пересекает прямую y=c в единственной точке.