Question

Найти tgx, если sin(x+30°)+sin(x-30°)=2√(3cosx) помогите пожалуйста

Answer 1

Используем формулу суммы синусов 
 sinα + sinβ = 2 * sin $\frac{ \alpha + \beta }{2}$ * cos$\frac{ \alpha - \beta }{2}$ 
α = x + 30 
β = x - 30 
sin (x + 30) + sin (x - 30) = 2 * sin $\frac{x + 30 + x - 30}{2}$ * cos $\frac{x + 30 - x + 30}{2}$ = 2 √ (3cosx)  
2 * sin$\frac{2x}{2}$ * cos $\frac{60}{2}$ = 2 √(3cosx)  
2 * sin x * cos 30 = 2 √(3cosx) 
2 * √3/2 * cosx = 2 √(3cosx)
√3 * sinx = 2 √(3cosx)
(√3 * sinx)² = (2 √(3cosx))²    
3 * sin ² x = 4 * 3 * cosx 
sin²x = 1 - cos²x
3 * (1 - cos²x) = 4 * 3 * cosx
1 - cos²x = 4 *cosx
cos²x + 4cosx - 1 = 0 
cosx = t 
t² + 4 t - 1 = 0 
D = 16 - 4 * 1 * (- 1) = 16 + 4 = 20 
t ₁ = (- 4 - √20)/2 = (- 4 - 2√5)/2 = - 2 - √5  
t₂ = (- 4 + √20)/2 = (- 4 + 2√5)/2 = - 2 + √5 
cosx = - 2 - √5 < - 1 не удовлетворяет, т.к. значения  -1 ≤ cosх ≤ 1 
cos x = - 2 + √5  <  1 удовлетворяет
Используем формулу
1 + tg²x = $\frac{1}{cos ^{2}x }$ 
tg²x =  $\frac{1}{cos ^{2}x }$  - 1 
tg²x = $\frac{1}{ (- 2 + \sqrt{5} )^{2} }$ - 1 = $\frac{1}{9 - 4 \sqrt{5} }$-1 = $\frac{1 - 9 + 4 \sqrt{5} }{9 - 4 \sqrt{5} }$  = $\frac{- 8 + 4 \sqrt{5} }{9 - 4 \sqrt{5} }$ = $\frac{(-8 + 4 \sqrt{5} ) * (9 + 4 \sqrt{5} )}{(9 - 4 \sqrt{5} ) * (9 + 4 \sqrt{5} )}$ = $\frac{-72 + 36 \sqrt{5} - 32 \sqrt{5} + 80 }{81 - 80}$  = 8 + 4√5 
tg²x = 8 + 4√5 = 4 (2 + √5)
tgx = 2√(2 + √5) 
tgx = - 2√(2 + √5) 

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся формулой сложения синусов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применим эту формулу к первому слагаемому в левой части уравнения:

sin(x + 30°) = sin(x)cos(30°) + cos(x)sin(30°) = [sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √(3)/2]

sin(x + 30°) = (1/2) * cos(x) + (√(3)/2) * sin(x)

Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

(1/2) * cos(x) + (√(3)/2) * sin(x) + sin(x - 30°) = 2√(3cos(x))

Заметим, что sin(x - 30°) можно выразить через sin(x + 30°) по формуле синуса разности:

sin(x - 30°) = sin(x)cos(30°) - cos(x)sin(30°) = (1/2) * cos(x) - (√(3)/2) * sin(x)

Заменим sin(x - 30°) в уравнении:

(1/2) * cos(x) + (√(3)/2) * sin(x) + [(1/2) * cos(x) - (√(3)/2) * sin(x)] = 2√(3cos(x))

(1/2) * cos(x) + (√(3)/2) * sin(x) + (1/2) * cos(x) - (√(3)/2) * sin(x) = 2√(3cos(x))

Упростим уравнение:

cos(x) = 2√(3cos(x))

Внимательно изучим это уравнение. Заметим, что tg(x) = sin(x)/cos(x), поэтому найдем sin(x) по исходному уравнению и подставим в tg(x):

sin(x + 30°) + sin(x - 30°) = 2√(3cos(x))

sin(x)cos(30°) + cos(x)sin(30°) + sin(x)cos(30°) - cos(x)sin(30°) = 2√(3cos(x))

2sin(x)cos(30°) = 2√(3cos(x))

sin(x) = √(3cos(x))

tg(x) = sin(x)/cos(x)

tg(x) = √(3*cos(x))/cos(x)

Искомый тангенс tg(x) = √(3/cos(x))

Таким образом, tg(x) равно √(3/cos(x)).