Question

Найдите все первообразные функцииf(x)=4+6x²-2x³+x⁴

Answer 1

Общий вид первообразной : $F(x)=\dfrac{x^5}{5} -\dfrac{x^4}{2} +2x^3+4x+C$

Answer 2

Чтобы найти первообразные функции \( f(x) = 4 + 6x^2 - 2x^3 + x^4 \) (интегралы), нужно взять каждый член и проинтегрировать его по отдельности.

1. \( \int 4 \, dx \) Интеграл константы \(4\) по переменной \(x\) равен \(4x + C_1\), где \(C_1\) - произвольная постоянная.

2. \( \int 6x^2 \, dx \) Интеграл \(6x^2\) равен \(2x^3 + C_2\), где \(C_2\) - произвольная постоянная.

3. \( \int -2x^3 \, dx \) Интеграл \(-2x^3\) равен \(-\frac{1}{2}x^4 + C_3\), где \(C_3\) - произвольная постоянная.

4. \( \int x^4 \, dx \) Интеграл \(x^4\) равен \(\frac{1}{5}x^5 + C_4\), где \(C_4\) - произвольная постоянная.

Собирая все интегралы вместе, получаем общую первообразную для \(f(x)\):

\[ F(x) = 4x + 2x^3 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{5}x^5 + C \]

где \(C\) - произвольная постоянная, объединяющая все постоянные члены от каждой интеграции.