Question

Метод математической индукции1^2/1*3+2^2/3*5+...+n^2/(2n-1)(2n+1)=n(n+1)/2(2n+1)

Answer 1

,................................Думаю,что так правильно

Answer 2

Математическая индукция

Метод математической индукции - это математическое доказательство, которое используется для проверки верности утверждений, которые зависят от натурального числа n. Этот метод состоит из двух шагов: базового шага и шага индукции.

Базовый шаг

В базовом шаге мы проверяем, выполняется ли утверждение для n = 1 (или для другого начального значения n). В нашем случае, мы проверим, выполняется ли утверждение для n = 1:

1^2 / (1 * 3) = 1(1 + 1) / 2(2 * 1 + 1)

1/3 = 2/3

Утверждение выполняется для n = 1.

Шаг индукции

В шаге индукции мы предполагаем, что утверждение выполняется для некоторого значения n = k и доказываем, что оно выполняется для n = k + 1. В нашем случае, предположим, что утверждение выполняется для n = k:

k^2 / (2k - 1)(2k + 1) = k(k + 1) / 2(2k + 1)

Теперь мы должны доказать, что утверждение выполняется для n = k + 1. Для этого заменим n в исходном утверждении на k + 1:

(k + 1)^2 / (2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1) / 2(2(k + 1) + 1)

(k^2 + 2k + 1) / (2k + 1)(2k + 3) = (k + 1)(k + 2) / 2(2k + 3)

Теперь упростим обе части уравнения:

(k^2 + 2k + 1) / (2k + 1)(2k + 3) = (k^2 + 3k + 2) / 2(2k + 3)

Мы видим, что обе части уравнения равны друг другу, поэтому утверждение выполняется для n = k + 1.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что утверждение выполняется для всех натуральных чисел n, используя метод математической индукции. Утверждение гласит:

1^2 / (1 * 3) + 2^2 / (3 * 5) + ... + n^2 / ((2n - 1)(2n + 1)) = n(n + 1) / 2(2n + 1)

где n - натуральное число.