Question

Помогите решить пожалуйста a) sin2x/cos(x+pi/2)=√3 б) [5pi/2;4pi]

Answer 1

А)
$\frac{sin2x}{cos(x+ \frac{ \pi }{2} )}= \sqrt3 \\ \frac{2*sinx*cosx}{-sinx}= \sqrt3 \\ \left \{ {{cosx=- \frac{\sqrt3}{2} } \atop {sinx \neq 0}} \right.$
x = (+/-) 5π/6 + 2πn, n ∈ Z
б)
$\left \{ {{x=(+/-) \frac{5 \pi }{6}+ 2 \pi n} \atop {x E [\frac{5\pi}{2};4 \pi ]}} \right.$
x = {17π/6; 19π/6}

Answer 2

а) Для решения уравнения a) мы должны преобразовать выражение и найти все значения x, которые удовлетворяют данному уравнению.

Рассмотрим следующий шаг за шагом подход:

1) Заменим sin2x на 2sinx*cosx, используя формулу удвоения синуса. Получим: (2sinx*cosx) / cos(x + pi/2) = √3.

2) Упростим знаменатель: Выражение cos(x + pi/2) эквивалентно -sinx (используя свойства тригонометрических функций). Получим: (2sinx*cosx) / (-sinx) = √3.

3) Сократим синусы: Заменим -sinx на cosx (перенос отрицания). Получим: 2cosx = √3.

4) Разделим обе части на 2: cosx = √3 / 2.

5) Найдем x, используя инверсию функции косинуса: x = arccos(√3 / 2).

6) Найдем все значения x на промежутке [5pi/2; 4pi]: Так как x = arccos(√3 / 2) принимает значения только в первом и четвертом квадрантах, рассмотрим значения x, удовлетворяющие условию на промежутке [5pi/2; 4pi] из первого и четвертого квадрантов.

Первый квадрант: 0 <= x <= pi/2. Четвертый квадрант: 3pi/2 <= x <= 2pi.

Итак, получаем два решения: x1 = arccos(√3 / 2) в первом квадранте и x2 = arccos(√3 / 2) + pi в четвертом квадранте.

Таким образом, решением уравнения составляемого пункта a) на промежутке [5pi/2; 4pi] являются два значения x: x1 = arccos(√3 / 2) и x2 = arccos(√3 / 2) + pi.