Question

На прямой взяты 6 точек, а на параллельной ей прямой – 7 точек. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются данные точки?

Answer 1

СЛУЧАЙ 1.
Пусть одна из вершин треугольника  лежит на первой прямой, а две другие - на второй прямой.

Первую вершину можно выбрать $C^1_6= \frac{6!}{5!1!} =6$ способами, а две другие - $C^2_{7}= \frac{7!}{5!2!}= \frac{6*7}{2} = 21$ способами.

По принципу произведения всего сделать можно $6\cdot21=126$ треугольников

СЛУЧАЙ 2.
Если одна вершина лежит на второй прямой , а две другие - на первой , то первую вершину можно выбрать $C^1_7=7$ способами, а две другие - $C^2_6= \frac{6!}{4!2!}= 15$ способами. Всего , по принципу произведения,$15*7=105$ треугольников


Искомое кол-во треугольников: $105+126=231$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и геометрию. У нас есть две прямые: прямая А с 6 точками и параллельная ей прямая В с 7 точками. Чтобы найти количество треугольников, вершинами которых являются эти точки, мы должны выбрать 3 точки из каждой прямой и проверить, образуют ли они треугольник.

Выбор точек на прямой А

На прямой А есть 6 точек, и нам нужно выбрать 3 из них. Количество способов выбрать 3 точки из 6 можно вычислить с помощью формулы сочетаний "C(n, k)" (где n - общее количество элементов, а k - количество элементов, которые нужно выбрать):

C(6, 3) = 6! / (3! * (6 - 3)!) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20

Таким образом, на прямой А есть 20 способов выбрать 3 точки.

Выбор точек на прямой В

На прямой В есть 7 точек, и нам нужно выбрать 3 из них. Количество способов выбрать 3 точки из 7 можно вычислить аналогичным образом:

C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35

Таким образом, на прямой В есть 35 способов выбрать 3 точки.

Общее количество треугольников

Теперь мы должны учесть, что для каждой тройки точек на прямой А есть соответствующая тройка точек на прямой В, образующая тот же треугольник. Таким образом, для каждой тройки на прямой А существует одна соответствующая тройка на прямой В. Следовательно, общее количество треугольников можно вычислить, умножив количество способов выбрать тройку на прямой А (20) на количество способов выбрать тройку на прямой В (35):

Общее количество треугольников = 20 * 35 = 700

Таким образом, существует 700 треугольников, вершинами которых являются данные точки.