Question

Решение задачи 2sin²x+7cоsx+2=0

Answer 1

2sin²x+7cosx+2=0
2(1-cos²x)+7cosx+2=0
-2cos²x+7cosx+4=0

2cos²x-7cosx-4=0

D=49+32=81   √81=9   cosx=1/4[7-9]=-1/2   cosx=1/4[7+9]=4>1
cosx=-1/2    x=+-2π/3+2πk   k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения 2sin²x + 7cosx + 2 = 0, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте рассмотрим процесс решения этой задачи подробнее.

Замена переменной

Для начала, давайте заменим переменную sinx на новую переменную t. Мы можем сделать это, используя тригонометрическую идентичность sin²x + cos²x = 1:

1 - cos²x + 7cosx + 2 = 0

Теперь заменим sin²x на (1 - cos²x):

2(1 - cos²x) + 7cosx + 2 = 0

2 - 2cos²x + 7cosx + 2 = 0

4cos²x - 7cosx - 4 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной cosx.

Решение квадратного уравнения

Чтобы решить квадратное уравнение 4cos²x - 7cosx - 4 = 0, давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

Дискриминант (D) = b² - 4ac

где a = 4, b = -7 и c = -4.

Вычислим дискриминант:

D = (-7)² - 4 * 4 * (-4) = 49 + 64 = 113

Поскольку дискриминант D положительный, у нас есть два корня:

cosx = (-b ± √D) / (2a)

cosx = (-(-7) ± √113) / (2 * 4)

cosx = (7 ± √113) / 8

Теперь, чтобы найти значения sinx, мы можем использовать исходное уравнение sin²x + cos²x = 1:

sin²x = 1 - cos²x

sinx = ± √(1 - cos²x)

sinx = ± √(1 - ((7 ± √113) / 8)²)

Решение

Итак, у нас есть два корня для cosx: (7 + √113) / 8 и (7 - √113) / 8. Для каждого из этих значений cosx мы можем найти соответствующие значения sinx, используя выражение sinx = ± √(1 - cos²x).

Таким образом, решение уравнения 2sin²x + 7cosx + 2 = 0 состоит из четырех значений x:

1. x = arcsin(√(1 - ((7 + √113) / 8)²)) 2. x = arcsin(-√(1 - ((7 + √113) / 8)²)) 3. x = arcsin(√(1 - ((7 - √113) / 8)²)) 4. x = arcsin(-√(1 - ((7 - √113) / 8)²))

Здесь arcsin - это обратная функция синуса, которая возвращает угол, соответствующий заданному значению синуса.

Пожалуйста, обратите внимание, что вычисление точных численных значений требует использования калькулятора или компьютерной программы.