Question

При каких значения параметра p , неравенство (p-2)x^2 +(5p-7)x +p+4>0 Верно при всех значениях x?

Answer 1

Должны выполняться 2 условия:
1) D > 0
2) p - 2 >0
D = (5p - 7)² - 4 * (p + 4) * (p - 2) = 25p² - 70p + 49 - 4p² + 8p - 16p + 32 =
= 21p² -  78p + 81
21p² - 78p + 81 >0
Найдём корни:
21p² - 78p + 81 = 0
7p² - 26p + 27 = 0
D = 676 - 756 = - 80 корней нет, значит 21p² - 78p + 81 >0 при любых p.
Из второго условия получим p - 2 > 0 , значит p > 2
Ответ: при p э (2; +∞  ) неравенство верно при любых х.

Answer 2

Для того, чтобы неравенство (p-2)x^2 + (5p-7)x + p + 4 > 0 было верно при всех значениях x, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

- Коэффициент при x^2, то есть p-2, был положительным, то есть p > 2. - Дискриминант квадратного трехчлена, то есть D = (5p-7)^2 - 4(p-2)(p+4), был отрицательным, то есть D < 0.

Решим неравенство D < 0:

D = (5p-7)^2 - 4(p-2)(p+4) < 0 25p^2 - 70p + 49 - 4p^2 + 16p - 32 < 0 21p^2 - 54p + 17 < 0 (7p - 3)(3p - 17/7) < 0 (7p - 3)(3p - 17/7) = 0 при p = 3/7 или p = 17/21 (7p - 3)(3p - 17/7) < 0 при p ∈ (3/7; 17/21)

Таким образом, для того, чтобы неравенство (p-2)x^2 + (5p-7)x + p + 4 > 0 было верно при всех значениях x, необходимо и достаточно, чтобы p > 2 и p ∈ (3/7; 17/21), то есть p ∈ (2; 17/21).

Ответ: неравенство (p-2)x^2 + (5p-7)x + p + 4 > 0 верно при всех значениях x, если p ∈ (2; 17/21).