Question

Решить уравнение: cos (x - п/4) = -1/2

Answer 1

X-π/4=+-2π/3+2πn
x=2π/3+π/4+2πn=11π/12+2πn
x=-2π/3+π/4+2πn=-7π/12+2πn

Answer 2

Давайте решим уравнение cos(x - π/4) = -1/2 подробно.

Для начала, давайте добавим π/4 к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от отрицательного знака на правой стороне. Это даст нам следующее уравнение:

cos(x - π/4) + π/4 = 0

Теперь мы можем использовать обратную функцию косинуса, чтобы найти значения, при которых cos(x - π/4) равно 0. Обратная функция косинуса обозначается как arccos или acos.

arccos(cos(x - π/4) + π/4) = arccos(0)

Так как косинус является периодической функцией с периодом 2π, то у нас есть бесконечно много решений для этого уравнения. Однако, мы ограничимся нахождением решений в интервале от 0 до 2π.

Теперь, мы можем использовать свойство обратной функции косинуса, что arccos(cos(x)) = x для x в интервале от 0 до π, чтобы упростить уравнение:

x - π/4 = 0

Теперь, добавим π/4 к обеим сторонам:

x = π/4

Таким образом, основное решение уравнения cos(x - π/4) = -1/2 в интервале от 0 до 2π равно x = π/4.

Однако, у нас также есть другие решения в этом интервале, так как косинус является периодической функцией. Другие решения могут быть найдены, добавляя к основному решению 2πn, где n - целое число. То есть, мы можем найти дополнительные решения, добавляя 2π к основному решению:

x = π/4 + 2πn

где n - целое число.

Таким образом, все решения уравнения cos(x - π/4) = -1/2 в интервале от 0 до 2π будут иметь вид:

x = π/4 + 2πn, где n - целое число.

Например, некоторые другие решения в этом интервале могут быть x = π/4 + 2π, x = π/4 + 4π, x = π/4 + 6π и так далее.

Это дает вам полное описание всех решений уравнения cos(x - π/4) = -1/2 в интервале от 0 до 2π.

Answer 3

Давайте решим уравнение \( \cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \) подробно.

Для начала, давайте найдем область значений для \( x \). Функция \( \cos(x) \) принимает значения в диапазоне от -1 до 1. Также, мы имеем сдвиг влево на \(\frac{\pi}{4}\). Таким образом, область значений для \( x - \frac{\pi}{4} \) будет от \(-\frac{\pi}{4}\) до \(\frac{3\pi}{4}\). Теперь рассмотрим уравнение \( \cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \). Мы ищем те значения \( x \), при которых косинус от \( x - \frac{\pi}{4} \) равен \(-\frac{1}{2}\).

Заметим, что косинус равен \(-\frac{1}{2}\) в двух местах в своем периоде, а именно при \( \frac{2\pi}{3} \) и \( \frac{4\pi}{3} \). Так как у нас сдвиг на \(\frac{\pi}{4}\), то решениями уравнения будут \( x_1 = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \) и \( x_2 = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \).

Теперь сложим числители и знаменатели для упрощения:

\( x_1 = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} \)

\( x_2 = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{16\pi + 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} \)

Таким образом, решения уравнения \( \cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \) на интервале от \(-\frac{\pi}{4}\) до \(\frac{3\pi}{4}\) это \( x = \frac{11\pi}{12} \) и \( x = \frac{19\pi}{12} \).