Question

Найти наибольшее и наименьшее значение выражения (cosx-sinx)^2

Answer 1

Син х - кос х = корень (2)*(корень (2)/2* син х - корень (2)/2 * кос х) = корень (2)* син (х-пи/4).

Синус принимает значения от -1 до 1, значит, наше выражение принимает значения от -корень (2) до корень (2).

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения (cosx-sinx)^2, мы можем использовать различные методы, включая геометрический подход и метод дифференцирования.

Геометрический подход:

Мы можем рассмотреть функцию f(x) = (cosx-sinx)^2 и построить её график, чтобы визуализировать поведение функции.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100) # задаем диапазон значений x от 0 до 2π
y = (np.cos(x) - np.sin(x))**2 # вычисляем значения функции для каждого x

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('(cosx-sinx)^2')
plt.title('График функции (cosx-sinx)^2')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике мы можем увидеть, что функция (cosx-sinx)^2 имеет периодическое поведение и колеблется между 0 и 1. Максимальное значение функции равно 1 и достигается, когда cosx = sinx, а минимальное значение равно 0 и достигается, когда cosx = sinx ± π/2.

Метод дифференцирования:

Мы можем также использовать метод дифференцирования для нахождения экстремумов функции f(x) = (cosx-sinx)^2.

Для этого возьмем производную функции f(x) по переменной x и найдем ее нулевые точки (то есть значения x, при которых производная равна нулю или не существует). Эти точки будут являться кандидатами на экстремумы функции.

Производная функции f(x) равна:

f'(x) = 2(cosx - sinx)(-sinx - cosx)

Чтобы найти нули производной, мы решаем уравнение:

2(cosx - sinx)(-sinx - cosx) = 0

Это уравнение имеет несколько решений, включая x = π/4, x = 5π/4, x = 3π/4 и x = 7π/4.

Теперь мы можем вычислить значения функции (cosx-sinx)^2 в этих точках и определить, являются ли они максимальными или минимальными значениями.

x_candidates = [np.pi/4, 5*np.pi/4, 3*np.pi/4, 7*np.pi/4]
y_candidates = [(np.cos(x)-np.sin(x))**2 for x in x_candidates]

max_value = max(y_candidates)
min_value = min(y_candidates)

print("Максимальное значение:", max_value)
print("Наибольшее значение достигается при x =", x_candidates[y_candidates.index(max_value)])
print("Минимальное значение:", min_value)
print("Наименьшее значение достигается при x =", x_candidates[y_candidates.index(min_value)])

Результат выполнения кода покажет нам наибольшее и наименьшее значения выражения (cosx-sinx)^2 и соответствующие им значения x.

Таким образом, наибольшее значение равно 1 и достигается при x = π/4, а наименьшее значение равно 0 и достигается при x = 3π/4.