Question

Найдите 2sinx+cosx/3sinx-2cosx, если tgx=2

Answer 1

Раздели числитель и знаменатель на cosx и подставь значения.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими тождествами. Дано, что \( \tan(x) = 2 \). Мы знаем, что \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). Таким образом, мы можем записать следующее:

\[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 2 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором угол \( x \) является углом. Тогда \( \tan(x) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \). Пусть противолежащий катет равен \( a \), а прилежащий катет равен \( b \). Тогда:

\[ \tan(x) = \frac{a}{b} = 2 \]

Теперь мы знаем, что противолежащий катет равен \( 2b \).

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \). Подставим \( \sin(x) = 2b \) и \( \cos(x) = b \):

\[ (2b)^2 + b^2 = 1 \] \[ 4b^2 + b^2 = 1 \] \[ 5b^2 = 1 \] \[ b^2 = \frac{1}{5} \]

Теперь, с учетом этого, мы можем найти значения \( \sin(x) \) и \( \cos(x) \):

\[ \sin(x) = 2b = 2\sqrt{\frac{1}{5}} \] \[ \cos(x) = b = \sqrt{\frac{1}{5}} \]

Теперь мы можем выразить \( 2\sin(x)\cos(x) \) и \( 3\sin(x) - 2\cos(x) \):

\[ 2\sin(x)\cos(x) = 2 \cdot 2\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \]

\[ 3\sin(x) - 2\cos(x) = 3 \cdot 2\sqrt{\frac{1}{5}} - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = 6\sqrt{\frac{1}{5}} - 2\sqrt{\frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}} \]

Теперь мы можем выразить заданное выражение:

\[ \frac{2\sin(x)\cos(x)}{3\sin(x) - 2\cos(x)} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{4\sqrt{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Таким образом, значение выражения равно \( \frac{\sqrt{5}}{5} \).