Question

F(x)=(x+1)*корень из x.Вычислить f'(2)

Answer 1

См. решение.............

Answer 2

Для вычисления производной функции \( f(x) = (x + 1) \cdot \sqrt{x} \), нужно использовать правила дифференцирования. Давайте найдем производную этой функции.

Правило производной произведения функций: \((uv)' = u'v + uv'\).

Где \(u = (x + 1)\) и \(v = \sqrt{x}\).

Теперь выразим производные компонентов:

1. \(u' = 1\) (производная по \(x\) от \(x + 1\)). 2. \(v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (производная по \(x\) от \(\sqrt{x}\)).

Теперь подставим значения в формулу для производной произведения:

\[f'(x) = (x + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 1\]

Теперь можем вычислить \(f'(2)\):

\[f'(2) = (2 + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} \cdot 1\]

\[f'(2) = \frac{3}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2}\]

Чтобы упростить ответ, можем умножить оба члена на \(\sqrt{2}\), чтобы избавиться от знаменателя в первом члене:

\[f'(2) = \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\]

\[f'(2) = \frac{3}{2} + 2\]

\[f'(2) = \frac{7}{2}\]

Итак, производная функции \(f(x)\) в точке \(x = 2\) равна \(\frac{7}{2}\).