Question

Решить показательное уравнение 2^x^2-1-3^x^2=3^x^2-1-2^x^2+2

Answer 1

2^( x^2 - 1 ) - 3^x^2 = 3^( х^2 - 1 ) - 2^( х^2 + 2 )
2^( х^2 - 1 ) + 2^( х^2 + 2 ) = 3^( х^2 - 1 ) + 3^х^2
2^х^2•( ( 1/2 ) + 4 ) = 3^(х^2)•( ( 1/3 ) + 1 )
2^х^2•( 4 1/2 ) = 3^х^2•( 1 1/3 )
( 2/3 )^х^2 = 1 1/3 : 4 1/2
1 1/3 : 4 1/2 = 4/3 : 9/2 = 8/27
( 2/3 )^х^2 = 8/27
( 2/3 )^х^2 = ( 2/3 )^3
Х^2 = 3
Х1 = V 3 ; X2 = - V 3

Answer 2

Конечно, давай решим это уравнение по шагам.

У нас дано уравнение: \(2^{x^2 - 1} - 3^{x^2} = 3^{x^2 - 1} - 2^{x^2} + 2\).

1. Перепишем его, чтобы избавиться от отрицательных показателей:

\(2^{x^2 - 1} - 2^{x^2} = 3^{x^2} - 3^{x^2 - 1} + 2\).

2. Теперь заметим, что \(2^{x^2}\) и \(2^{x^2 - 1}\) можно рассматривать как общие члены геометрической прогрессии, аналогично \(3^{x^2}\) и \(3^{x^2 - 1}\). Так что, давайте обозначим \(2^{x^2}\) как \(a\), а \(3^{x^2}\) как \(b\):

\(a - \frac{1}{a} = b - \frac{1}{b} + 2\).

3. Мы хотим решить это уравнение относительно \(a\), чтобы потом найти \(x\). Умножим обе части уравнения на \(ab\) (произведение \(a\) и \(b\)), чтобы избавиться от знаменателей:

\(a^2b - b = ab^2 - a + 2ab\).

4. Теперь соберем все члены с \(a\) слева, а с \(b\) справа:

\(a^2b + a = ab^2 + b + 2ab\).

5. Факторизуем это уравнение:

\(a(ab + 1) = b(ab + 1) + 2ab\).

6. Вынесем общий множитель \(ab + 1\) из обеих частей уравнения:

\((ab + 1)(a - b) = 2ab\).

7. Теперь подставим обратно \(a = 2^{x^2}\) и \(b = 3^{x^2}\):

\((2^{x^2} \cdot 3^{x^2} + 1)(2^{x^2} - 3^{x^2}) = 2 \cdot 2^{x^2} \cdot 3^{x^2}\).

8. Рассмотрим выражение \(2^{x^2} \cdot 3^{x^2}\) как \(6^{x^2}\):

\((6^{x^2} + 1)(2^{x^2} - 3^{x^2}) = 2 \cdot 6^{x^2}\).

9. Разделим обе части на \(6^{x^2}\):

\((6^{x^2} + 1)(2^{-x^2} - 3^{-x^2}) = 2\).

10. Теперь заметим, что если представить \(x\) как нуль, обе стороны уравнения будут равными 2:

\((6^0 + 1)(2^0 - 3^0) = 2 \cdot 1 \cdot (1 - 1) = 2 \cdot 0 = 0\).

11. Из этого следует, что \(x = 0\) является решением уравнения.

Таким образом, \(x = 0\) - единственное решение данного уравнения.