Question

В геометрической прогрессии (A n ) c положительными членами а2=8 , а4=72. найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии Решите пожалуйста, я уже решила , но хочу сверить ответ.

Answer 1

$a_2=a_1+d=8\; ,\; \; a_1=8-d\\\\a_4=a_1+3d=72\; ,\; \; a_4=(8-d)+3d=72\; \; \Rightarrow \; \; 2d=64\\\\d=32\; ,\; \; a_1=8-32=-24\\\\S_5= \frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5= \frac{a_1+(a_1+4d)}{2}\cdot 5= \frac{2a_1+4d}{2}\cdot 5= \frac{-48+4\cdot 32}{2} \cdot 5=200$

Answer 2

Решение задания смотри на фотографии

Answer 3

Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию с положительными членами \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) и знаменателем \(q\). Общий член этой прогрессии можно записать как \(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\).

У вас даны два условия: 1. \(a_2 = 8\) 2. \(a_4 = 72\)

Мы можем использовать эти условия для определения \(a_1\) и \(q\).

Первое условие: \(a_2 = a_1 \cdot q\). У нас \(a_2 = 8\), так что мы можем записать уравнение:

\[8 = a_1 \cdot q\]

Второе условие: \(a_4 = a_1 \cdot q^3\). У нас \(a_4 = 72\), так что мы можем записать второе уравнение:

\[72 = a_1 \cdot q^3\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(q\)):

\[ \begin{cases} 8 = a_1 \cdot q \\ 72 = a_1 \cdot q^3 \end{cases} \]

Решим эту систему уравнений. Для этого можно, например, поделить второе уравнение на первое:

\[ \frac{72}{8} = \frac{a_1 \cdot q^3}{a_1 \cdot q} \]

Упростим выражение:

\[9 = q^2\]

Теперь найдем значение \(q\):

\[q = \sqrt{9} = 3\]

Теперь, зная значение \(q\), подставим его в первое уравнение:

\[8 = a_1 \cdot 3\]

Решим это уравнение относительно \(a_1\):

\[a_1 = \frac{8}{3}\]

Таким образом, у нас есть значения \(a_1\) и \(q\), и мы можем записать общий член прогрессии:

\[a_n = \left(\frac{8}{3}\right) \cdot 3^{(n-1)}\]

Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов этой прогрессии. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\]

Где: - \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, - \(a_1\) - первый член прогрессии, - \(q\) - знаменатель прогрессии.

В нашем случае \(a_1 = \frac{8}{3}\) и \(q = 3\). Подставим значения в формулу:

\[S_5 = \left(\frac{8}{3}\right) \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1}\]

Вычислим числитель:

\[3^5 - 1 = 243 - 1 = 242\]

Теперь подставим это значение в формулу для суммы:

\[S_5 = \left(\frac{8}{3}\right) \cdot \frac{242}{2}\]

Упростим выражение:

\[S_5 = \frac{8 \cdot 121}{3}\]

Таким образом, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна \(\frac{968}{3}\). Если ваш ответ совпадает с этим, то ваш расчет верен.