Question

Найти частные производные функции z=ctgx/y

Answer 1

$z'_x=\dfrac1y\cdot(\cot x)'_x=-\dfrac1{y\sin^2x}\\ z'_y=(y^{-1})'\cot x=-\dfrac{\cos x}{y^2\sin x}$

Answer 2

Для нахождения частных производных функции z = ctg(x/y) сначала найдем производную от функции ctg(u), где u = x/y.

Используя цепное правило, получаем:

dz/dx = d(ctg(u))/d(u) * d(u)/dx

dz/dy = d(ctg(u))/d(u) * d(u)/dy

Для нахождения производных от функции ctg(u), воспользуемся формулой:

d(ctg(u))/d(u) = -1 / (sin^2(u))

Теперь найдем производные от u = x/y:

d(u)/dx = 1/y

d(u)/dy = -x/y^2

Теперь мы можем выразить частные производные функции z = ctg(x/y):

dz/dx = -1 / (sin^2(u)) * (1/y)

dz/dy = -1 / (sin^2(u)) * (-x/y^2)

Заметим, что sin^2(u) = sin^2(x/y). Таким образом, окончательно получаем:

dz/dx = -1 / (sin^2(x/y)) * (1/y)

dz/dy = -1 / (sin^2(x/y)) * (-x/y^2)