Question

Докажите, что выражение x в квадрате -4x+9 при любых значениях x принимает положительные значения

Answer 1

1 способ (выделением неполного квадрата):
y=x²-4x+9
Выделяем неполный квадрат:
y=x²-4x+9=(х²-4х+4)-4+9=(х-2)²+5
Далее рассуждаем так:
(х-2)²≥0 при любых х∈(-∞;+∞)  и  5 > 0.  Следовательно, (х-2)²+5 > 0
Значит, у=x²-4x+9 > 0
Что и требовалось доказать

2 способ (основан на геометрических представления):
Докажем, что х²-4х+9>0
1)Находим дискриминант квадратичной функции:
D=(-4)²-4*1*9=16-36=-20 <0 => нет точек пересечения с осью Ох
2)Графиком функции у=х²-4х+9 является парабола, ветви которой направлены 
    вверх, т.к. а=1 > 0
Следовательно, вся парабола расположена выше оси Ох
Это означает, что данная функция принимает только положительные значения.
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Доказательство положительности выражения x в квадрате - 4x + 9

Для доказательства положительности выражения x в квадрате - 4x + 9 при любых значениях x, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата.

1. Рассмотрим выражение x в квадрате - 4x + 9. 2. Преобразуем его, добавив и вычтя одно и то же число, чтобы завершить квадрат: - Добавим и вычтем число 4/2 в квадрате, где 4 - коэффициент при x. - Получим: x в квадрате - 4x + 9 + 4 - 4. - Это можно переписать в виде: (x в квадрате - 4x + 4) + (9 - 4). - Далее, мы можем переписать первое выражение в виде квадрата: (x - 2) в квадрате. - Получим: (x - 2) в квадрате + 5.

Теперь мы можем увидеть, что выражение (x - 2) в квадрате + 5 всегда будет положительным, так как квадрат любого числа всегда неотрицательный, а прибавление положительного числа (5) не изменит это свойство.

Таким образом, мы доказали, что выражение x в квадрате - 4x + 9 при любых значениях x принимает положительные значения.

Примеры:

- При x = 0: - (0 - 2) в квадрате + 5 = (-2) в квадрате + 5 = 4 + 5 = 9. - Значение положительное.

- При x = 1: - (1 - 2) в квадрате + 5 = (-1) в квадрате + 5 = 1 + 5 = 6. - Значение положительное.

- При x = 2: - (2 - 2) в квадрате + 5 = 0 в квадрате + 5 = 0 + 5 = 5. - Значение положительное.

- При x = 3: - (3 - 2) в квадрате + 5 = 1 в квадрате + 5 = 1 + 5 = 6. - Значение положительное.

Таким образом, мы видим, что независимо от значения x, выражение x в квадрате - 4x + 9 принимает положительные значения.