Question

При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение х4 + ах2 + 9 = 0?

Answer 1

При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение
х^4 + ах^2 + 9 = 0?

x²=t

t²+at+9=0                  +                            -                           +
1) D=a²-36<0 ⇔ --------------------(-6)-------------------(6)--------------

a∈(-6;6)

2) D=a²-36≥0      /////////////////(-6)-------------------(6)/////////////////////////        

и t1<0 и  t2<0  ⇔(t1)( t2)>0    (t1)+( t2)<0
                                                   ( t1)( t2) =9   (t1)+( t2)=-a<0 ⇔a>0

                       --------------------(-6)---------0//////////(6)//////////////////////////

т.о.  a∈(6;+∞)

ответ: при a∈a∈(-6;6)∪(6;+∞)
 уравнение   х^4 + ах^2 + 9 = 0 не имеет корней

Answer 2

Уравнение \(x^4 + ax^2 + 9 = 0\) не имеет корней при значениях параметра \(a\), при которых дискриминант этого уравнения отрицательный.

Дискриминант уравнения \(x^4 + ax^2 + 9 = 0\) можно найти по формуле: \[D = (a^2 - 4) \cdot 9.\]

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным, то есть \(D < 0\).

Подставим значение \(D\) в неравенство: \[(a^2 - 4) \cdot 9 < 0.\]

Раскроем скобки и упростим неравенство: \[9a^2 - 36 < 0.\]

Разделим обе части неравенства на 9: \[a^2 - 4 < 0.\]

Решим это неравенство. Для этого найдем корни уравнения \(a^2 - 4 = 0\): \[a^2 = 4.\]

Из этого уравнения получаем два решения: \(a_1 = 2\) и \(a_2 = -2\).

Теперь исследуем знаки выражения \(a^2 - 4\) на интервалах:

1) Если \(a < -2\), то \(a^2 - 4 > 0\); 2) Если \(-2 < a < 2\), то \(a^2 - 4 < 0\); 3) Если \(a > 2\), то \(a^2 - 4 > 0\).

Таким образом, уравнение \(x^4 + ax^2 + 9 = 0\) не имеет корней при значениях параметра \(a\) из интервала \((-2, 2)\).