Question

Помогите решить!! ПОЖАЛУЙСТА! y'-xy=x^3

Answer 1

Если "помогите", то значит у Вас есть уже какое-то решение.

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение y'-xy=x^3. Наша задача - найти его решение.

Для начала, заметим, что это уравнение является линейным уравнением первого порядка. Для решения такого уравнения можно использовать метод вариации постоянной или метод интегрирующего множителя.

Для применения метода интегрирующего множителя, нужно найти такую функцию множитель λ(x), чтобы уравнение стало полным дифференциалом. Для этого умножим обе части уравнения на λ(x):

λ(x)y' - λ(x)xy = λ(x)x^3

Заметим, что левая часть уравнения похожа на производную произведения функций: (λ(x)y)' = λ(x)y' + λ'(x)y. Таким образом, можем переписать уравнение в виде:

(λ(x)y)' - λ'(x)y = λ(x)x^3

Теперь наша цель - найти λ(x) такую, чтобы - λ'(x)y = λ(x)x^3. Для этого сравним коэффициенты при y:

-λ'(x) = λ(x)

Это уравнение имеет общее решение λ(x) = Ce^(-x), где C - произвольная постоянная.

Теперь, зная λ(x), можем найти y(x):

(λ(x)y)' = λ(x)x^3

Дифференцируем обе части:

λ'(x)y + λ(x)y' = λ(x)x^3

Подставляем выражение для λ(x):

Ce^(-x)y + Ce^(-x)y' = Ce^(-x)x^3

Упрощаем:

Ce^(-x)y' = Ce^(-x)x^3 - Ce^(-x)y

Делим обе части на Ce^(-x):

y' = x^3 - y

Теперь у нас получилось уравнение, которое можно решить методом разделения переменных:

dy/dx = x^3 - y

dy = (x^3 - y)dx

dy + ydx = x^3dx

Подставляем значения:

∫(1/y)dy + ∫dx = ∫x^3dx

ln|y| + x = (1/4)x^4 + C

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения y'-xy=x^3:

ln|y| + x = (1/4)x^4 + C

Надеюсь, это поможет вам решить задачу! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задайте их.