Question

Двузначное число на 19 больше суммы квадратов своих цифр и на 9 больше числа записанного теми же цифрами но в обратном порядке. Найдите это число.

Answer 1

Пусть цифры числа x и y. Тогда само число, составленное из этих цифр будет равно

10x + y.(вспомните основы десятичной системы счисления).

 

Теперь можно записать следующие условия.

Из первого условия следует, что

10x + y - 19 = x² + y²

Из второго условия следует, что:

10x + y -9 = 10y + x. Теперь можно сосоавить систему уравнений и из неё найти цифры числа.

 

10x + y - 19 = x² + y²               

10x + y - 9 = 10y+x

Попробуем решить систему методом подстановки. выразив из второго уравнения y:

 

 -9y = 9 - 9x

-9y = 9(1 - x)

y = x - 1

Тогда первое уравнение запишется так:

10x + x-1 - 19 = x² + (x - 1)²

 11x - 20 = x² + x² - 2x + 1

11x - 20 = 2x² - 2x + 1

2x²-13x + 21 = 0

D = b² - 4ac = 169 - 168 = 1

 x1 = 13 - 1 / 4 = 12/4 = 3

x2 = 13 + 1 / 4 = 3.5 - такого ответа у нас не может быть, поскольку цифра - это всегда однозначное целое число, поэтому этот ответ можно не рассматривать.

Получаем поэтому только один вариант системы:

 

x = 3

y = 3 - 1 = 2

 

Таким образом, искомое число равно 32

 

Answer 2

Пусть двузначное число состоит из цифр a и b, где a - старшая цифра, b - младшая цифра.

Тогда по условию задачи, число на 19 больше суммы квадратов своих цифр, то есть:

10a + b = a^2 + b^2 + 19.

А также число на 9 больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, то есть:

10a + b = 10b + a + 9.

Теперь решим систему уравнений:

a^2 + b^2 + 19 = 10a + b,

10a + b = 10b + a + 9.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

a^2 + b^2 + 19 = 10a + b,

9a - 9b = -10.

Приведем уравнение к каноническому виду:

a^2 + b^2 - 10a - b + 19 = 0,

9a - 9b + 10 = 0.

Решим систему уравнений методом подстановки:

Из второго уравнения выразим a через b:

a = (9b - 10)/9.

Подставим это значение в первое уравнение:

((9b - 10)/9)^2 + b^2 - 10((9b - 10)/9) - b + 19 = 0.

Упростим:

(81b^2 - 180b + 100)/81 + b^2 - (90b - 100)/9 - b + 19 = 0.

Переведем все слагаемые в общий знаменатель:

(81b^2 - 180b + 100 + 81b^2 - 810b + 900 - 81b^2 + 90b - 100 - 81b + 1719)/81 = 0.

Сократим подобные слагаемые:

(81b^2 - 180b + 100 - 81b^2 + 90b - 81b + 1719)/81 = 0.

(9b^2 - 171b + 1719)/81 = 0.

Упростим дробь:

b^2 - 19b + 191 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = (-19)^2 - 4 * 1 * 191 = 361 - 764 = -403.

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, решений нет.

Ответ: данное условие не имеет решений.