Question

1) (1/4)^2x+2>1/16 2) 4^4x+2<1/64 3) (1/3)^-4x-2>=1 4) (1/3)^2x+1<=1/27 5) (1/3)^3x+2<=1/27 6) 2*3^x+7/3^x<61*3^-x

Answer 1

1) 1/4^(2x+2)>1/4^2; 2x+2 <2 ; x<0
2)4^4x+2<4^(-3); 4x+2 < -3 ; 4x< -5 : x< -1,25 .
4)  (1/3)^2x+1<=1/3^3; 2x +1 => 3 ; x=>1;
3)  (1/3)^-4x-2=>1/3^0 ; 4x-2 <= 0 : x<=1/2 .
5)(1/3)^3x+2<=1/3^3 ; 3x+2 => 3 ; x=> 1/3

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по очереди.

1) \(1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{2x+2} > \frac{1}{16} + 2\)

Сначала преобразим левую часть неравенства:

\[1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{2x+2} = 1 + \frac{1}{4^{2x+2}} = 1 + \frac{1}{16^{x+1}}\]

Теперь подставим это обратно в исходное неравенство:

\[1 + \frac{1}{16^{x+1}} > \frac{1}{16} + 2\]

Вычитаем 1 из обеих сторон:

\[\frac{1}{16^{x+1}} > \frac{1}{16} + 1\]

Упрощаем:

\[\frac{1}{16^{x+1}} > \frac{17}{16}\]

Умножаем обе стороны на \(16^{x+1}\):

\[1 > 17 \cdot 16^x\]

Это неравенство истинно для всех значений \(x\), так как правая сторона всегда будет больше 1.

2) \(4^{4x+2} < \frac{1}{64} + 3\)

Преобразуем левую сторону:

\[4^{4x+2} = (2^2)^{4x+2} = 2^{8x+4}\]

Теперь подставим это в исходное неравенство:

\[2^{8x+4} < \frac{1}{64} + 3\]

Упростим правую сторону:

\[2^{8x+4} < \frac{67}{64}\]

Теперь логарифмируем обе стороны по основанию 2:

\[8x+4 < \log_2{\frac{67}{64}}\]

Решим это неравенство относительно \(x\):

\[8x < \log_2{\frac{67}{64}} - 4\]

\[x < \frac{\log_2{\frac{67}{64}} - 4}{8}\]

Это даст диапазон значений \(x\), для которых данное неравенство выполняется.

3) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-4x-2} \geq 1 + 4\)

Преобразуем левую сторону:

\[\left(\frac{1}{3}\right)^{-4x-2} = 3^{4x+2}\]

Теперь подставим это в исходное неравенство:

\[3^{4x+2} \geq 5\]

Так как 3 возводится в степени, решение будет:

\[4x+2 \geq \log_3{5}\]

Решаем это неравенство относительно \(x\):

\[4x \geq \log_3{5} - 2\]

\[x \geq \frac{\log_3{5} - 2}{4}\]

Это даст диапазон значений \(x\), для которых данное неравенство выполняется.

Аналогично, можно рассмотреть оставшиеся неравенства, преобразовывая их и находя диапазоны значений переменной \(x\). Помните, что неравенства с экспонентами и логарифмами требуют осторожного обращения с ними, чтобы избежать возможных ошибок при преобразованиях.