Question

Не приводя многочлен (-x^2-xy^2+y^2)^{17} к стандартному виду, найдите: а) сумму коэффициентов = б) сумму коэффициентов при одночленах, не содержащих переменную y =

Answer 1

а) сумма коэффициентов равна -1

в)-1

Answer 2

Давайте рассмотрим многочлен \((-x^2-xy^2+y^2)^{17}\) и найдем сумму коэффициентов (а) и сумму коэффициентов при одночленах, не содержащих переменную \(y\) (б).

Многочлен в данной степени может быть развернут с использованием биномиальной теоремы. По формуле бинома Ньютона, разложение выглядит следующим образом:

\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k\]

где \(C_{n}^{k}\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В нашем случае, где \(a = -x^2\) и \(b = -xy^2 + y^2\), а \(n = 17\), мы можем применить эту формулу.

а) Сумма коэффициентов:

Сумма коэффициентов будет равна коэффициенту при \(a^{17}\). Таким образом, мы ищем коэффициент при \((-x^2)^{17}\). Этот коэффициент равен биномиальному коэффициенту \(C_{17}^{0}\), так как все остальные члены обнуляются:

\[C_{17}^{0} = 1\]

Таким образом, сумма коэффициентов равна 1.

б) Сумма коэффициентов при одночленах, не содержащих переменную \(y\):

Мы ищем сумму коэффициентов при членах вида \((-x^2)^k\), где \(k\) принимает значения от 0 до 17, так как \(y\) не входит в эти члены.

\[C_{17}^{0} \cdot (-x^2)^{17} + C_{17}^{1} \cdot (-x^2)^{16} + \ldots + C_{17}^{17} \cdot (-x^2)^0\]

При вычислении каждого из этих членов, мы получаем:

\[C_{17}^{0} \cdot (-1)^{17} = -1\] \[C_{17}^{1} \cdot (-1)^{16} = 17\] \[C_{17}^{2} \cdot (-1)^{15} = -136\] \[C_{17}^{3} \cdot (-1)^{14} = 680\] \[ \ldots \] \[C_{17}^{17} \cdot (-1)^0 = 1\]

Теперь сложим эти значения:

\[-1 + 17 - 136 + 680 - \ldots + 1\]

Эта сумма может быть вычислена численно. Она будет равна некоторому числу, которое можно выразить в конечной форме.