Question

Решите уравнение 24tg^2 x-9sin^2 x=2 С чего начать?

Answer 1

Имеем: tg^2 x=(1-cos 2x)/(1+cos 2x), sin^2 x=(1-cos 2x)/2. Подставим эти значения:24×(1-cos 2x)/(1+cos 2x)-9×(1-cos 2x)/2=2, (2×24×(1-cos 2x)-9×(1-cos 2x)×(1+cos 2x))/(2×(1+cos 2x))=2, 48-48cos 2x-9×(1-cos^2 2x)=2×2×(1+cos 2x), 48-48cos 2x-9+9cos^2 2x=4+4cos 2x, 9cos^2 2x-52cos 2x+35=0. Пускай cos 2x =y, имеем 9у^2-52у+35=0, D=(-52)^2-4×9×35=2704-1260=1444, y1=(52-корень из 1444)/(2×9)=(52-38)/18=14/18=7/9, х2=(52+корень из 1444)/(2×9)=(52+38)/18=90/18=5. cos 2x=y. При cos 2x=7/9, tg^2 x=(1-7/9)/(1+7/9)=(2/9)/(16/9)=1/8, tg x1=1/(2 корень из 2), tg x2=-1/(2 корень из 2). При cos 2x=7/9, sin^2 x=(1-7/9)/2=(2/9)/2=1/9, sin x1=-1/3, sin x2=1/3. При cos 2x=5, tg^2 x=(1-5)/(1+5)=4/6=2/3, tg x3=-корень из 2/3, tg x4=+корень из 2/3. sin^2 x=(1-5)/2=-2.

Answer 2

Для решения уравнения 24tg^2(x) - 9sin^2(x) = 2, можно использовать различные методы, включая алгебраические и графические методы. Один из способов решения этого уравнения - использование тригонометрических тождеств и замены переменных.

Шаг 1: Замена переменных

Для удобства решения уравнения, можно заменить тангенс и синус через синус и косинус с помощью тригонометрических тождеств: tg^2(x) = (sin^2(x))/(cos^2(x)) sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Шаг 2: Подстановка замененных переменных

Подставим замененные переменные в исходное уравнение: 24((sin^2(x))/(cos^2(x))) - 9(1 - cos^2(x)) = 2

Шаг 3: Упрощение уравнения

Упростим уравнение, раскрыв скобки и объединив подобные члены: 24(sin^2(x))/(cos^2(x)) - 9 + 9cos^2(x) = 2

Шаг 4: Приведение к общему знаменателю

Приведем дробь к общему знаменателю: (24sin^2(x) - 9cos^2(x))/(cos^2(x)) - 9 = 2

Шаг 5: Умножение на общий знаменатель

Умножим обе части уравнения на cos^2(x): 24sin^2(x) - 9cos^2(x) - 9cos^2(x) = 2cos^2(x)

Шаг 6: Упрощение уравнения

Упростим уравнение, объединив подобные члены: 24sin^2(x) - 18cos^2(x) = 2cos^2(x)

Шаг 7: Перенос всех членов в одну сторону

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: 24sin^2(x) - 20cos^2(x) = 0

Шаг 8: Факторизация

Факторизуем полученное уравнение: 4(6sin^2(x) - 5cos^2(x)) = 0

Шаг 9: Решение факторизованного уравнения

Решим полученное факторизованное уравнение: 6sin^2(x) - 5cos^2(x) = 0

Шаг 10: Решение уравнения

Для решения этого уравнения можно использовать различные методы, включая графический и аналитический. Один из способов - использование тригонометрических тождеств и замены переменных.

Примечание: Я не смог найти точное аналитическое решение для данного уравнения. Если вам нужно получить численное решение, рекомендуется использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.