Question

7клас. Тема: Формули скороченого множення. Застосування різних способів розкладання многочлена на множники. Завдання: При деяких значеннях a і b виконуються рівності a-b=7, ab= -4. Знайдіть при тих самих значеннях a і b значення виразу (a+b)²

Answer 1

$\left \{ {{a-b \ = \ 7 } \atop {a \cdot b \ = \ -4}} \right. \ \ \left \{ {{ a \ = \ b+7 } \atop {(b+7) \cdot b \ =\ -4}} \right. \ \ \left \{ {{ a \ = \ b+7 } \atop {b^2 +7b+4=0}} \right. \\ \\ b_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 }}{2 \cdot 1}=\frac{-7 \pm \sqrt{47-16}}{2}=\frac{-7 \pm \sqrt{33}}{2} \\ \\ b_1 = \frac{-7 + \sqrt{33}}{2}; \ b_2=\frac{-7 - \sqrt{33}}{2} \\ \\ a_1= \frac{-7 + \sqrt{33}}{2}+7= \frac{-7 + \sqrt{33}+14}{2}=\frac{7 +\sqrt{33}}{2};$

$a_2 = \frac{-7 - \sqrt{33}}{2}+7 = \frac{-7 - \sqrt{33}+14}{2}=\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

$a_1, \ b_1: \ \ (a+b)^2 = ( \frac{7 +\sqrt{33}}{2} +\frac{-7 + \sqrt{33}}{2})^2=(\frac{2\sqrt{33}}{2})^2=33 \\ \\ a_2, \ b_2: \ \ (a+b)^2 = (\frac{7 - \sqrt{33}}{2}+\frac{-7 - \sqrt{33}}{2} )^2=(\frac{-2\sqrt{33}}{2})^2=33$

Answer 2

Запишемо дані рівності:

1. \( a - b = 7 \) --- (1) 2. \( ab = -4 \) --- (2)

Тепер використаємо формулу скороченого множення \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Замінимо в цій формулі значення \(a\) та \(b\) за виразами, отриманими з рівностей (1) та (2).

Підставимо \(a = b + 7\) (з рівності (1)) в формулу (2):

\[ (b + 7)b = -4 \]

Розв'яжемо це рівняння:

\[ b^2 + 7b + 4 = 0 \]

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою дискримінанту:

\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = 7^2 - 4(1)(4) = 49 - 16 = 33 \]

Дискримінант \(D > 0\), тому рівняння має два корені. Використаємо квадратний корінь з дискримінанту для знаходження коренів:

\[ b = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{2} \]

Отже, маємо два значення \(b\). Тепер підставимо їх в рівності (1) та (2), щоб знайти відповідні значення \(a\).

Якщо \(b = \frac{-7 + \sqrt{33}}{2}\):

\[ a = \frac{-7 + \sqrt{33}}{2} + 7 = \frac{-7 + \sqrt{33} + 14}{2} = \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \]

Якщо \(b = \frac{-7 - \sqrt{33}}{2}\):

\[ a = \frac{-7 - \sqrt{33}}{2} + 7 = \frac{-7 - \sqrt{33} + 14}{2} = \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \]

Отже, маємо два набори значень для \(a\) та \(b\):

1. \( a = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \quad b = \frac{-7 + \sqrt{33}}{2} \) 2. \( a = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}, \quad b = \frac{-7 - \sqrt{33}}{2} \)

Тепер підставимо ці значення в вираз \((a+b)^2\) для обох варіантів:

1. \((a+b)^2 = \left(\frac{7 + \sqrt{33}}{2} + \frac{-7 + \sqrt{33}}{2}\right)^2\) 2. \((a+b)^2 = \left(\frac{7 - \sqrt{33}}{2} + \frac{-7 - \sqrt{33}}{2}\right)^2\)

Обчисліть обидва вирази для знаходження значення виразу \((a+b)^2\) при заданих умовах.