Question

Помогите решить пожалуйста 1) 2sin^2х - 3cosx - 3 = 0 [п; 3п] 2) 1/cos^2x + 4tgx - 6 = 0 [2п; 7п/2] 3) 6cos2x - 14cos^2x - 7sin2x = 0 [-3п/2; -п/2]

Answer 1

Решение второго уравнения в приложении

Answer 2

Ответ записан уже с отобранными корнями 

Answer 3

Давайте решим данные три уравнения по очереди.

Уравнение 1: \(2\sin^2(x) - 3\cos(x) - 3 = 0\) на интервале \([0; 3\pi]\)

Перепишем уравнение в терминах \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\):

\(2(1 - \cos^2(x)) - 3\cos(x) - 3 = 0\)

Решим это уравнение. Обозначим \(\cos(x) = t\). Тогда у нас получится квадратное уравнение:

\(2(1 - t^2) - 3t - 3 = 0\)

Раскроем скобки:

\(2 - 2t^2 - 3t - 3 = 0\)

Упростим:

\(2t^2 + 3t - 5 = 0\)

Решим это квадратное уравнение:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 * 2 * (-5)}}{2 * 2}\]

\[t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}\]

\[t = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4}\]

\[t = \frac{-3 \pm 7}{4}\]

\[t_1 = \frac{4}{4} = 1\] \[t_2 = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}\]

Мы знаем, что \(\cos(x) = t\). Теперь найдем углы \(x\) для этих значений:

1. Когда \(\cos(x) = 1\), тогда \(x = 0\) (так как на интервале \([0; 3\pi]\), косинус равен 1 только при \(x = 0\)).

2. Когда \(\cos(x) = -\frac{5}{2}\), это значение не входит в диапазон (-1; 1), так что решений для этого уравнения нет.

Таким образом, единственное решение этого уравнения на интервале \([0; 3\pi]\) это \(x = 0\).

Уравнение 2: \(\frac{1}{\cos^2(x)} + 4\tan(x) - 6 = 0\) на интервале \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\)

Сначала преобразуем уравнение:

\(\frac{1}{\cos^2(x)} + 4\frac{\sin(x)}{\cos(x)} - 6 = 0\)

Умножим все части уравнения на \(\cos^2(x)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[1 + 4\sin(x) - 6\cos^2(x) = 0\]

Далее воспользуемся тригонометрическими тождествами:

\(\sin(x) = 1 - \cos^2(x)\)

Подставим это в уравнение:

\[1 + 4(1 - \cos^2(x)) - 6\cos^2(x) = 0\]

\[1 + 4 - 4\cos^2(x) - 6\cos^2(x) = 0\]

\[10\cos^2(x) = 5\]

\(\cos^2(x) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)

\(\cos(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Таким образом, получаем два возможных значения угла \(x\):

1. \(\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), что соответствует \(x = \frac{\pi}{4}\) 2. \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), что соответствует \(x = \frac{3\pi}{4}\)

Уравнение 3: \(6\cos(2x) - 14\cos^2(x) - 7\sin(2x) = 0\) на интервале \([- \frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]\)

Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\) и \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\):

\(6(2\cos^2(x) - 1) - 14\cos^2(x) - 7(2\sin(x)\cos(x)) = 0\)

Раскроем скобки:

\(12\cos^2(x) - 6 - 14\cos^2(x) - 14\sin(x)\cos(x) = 0\)

Упростим:

\(-2\cos^2(x) - 14\sin(x)\cos(x) - 6 = 0\)

Теперь воспользуемся известными тригонометрическими соотношениями \(\sin(x) = -\cos(\frac{\pi}{2} - x)\):

\(-2\cos^2(x) - 14\sin(x)\cos(x) - 6 = -2\cos^2(x) + 14\cos(x)\cos(\frac{\pi}{2} - x) - 6 = 0\)

\[2(\cos(x))^2 - 14\cos(x)\sin(\frac{\pi}{2} - x) - 6 = 0\]

Теперь преобразуем \(14\cos(x)\sin(\frac{\pi}{2} - x)\) используя то, что \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)\):

\[2(\cos(x))^2 - 14(\cos(x))^2 - 6 = -12(\cos(x))^2 - 6 = 0\]

\((-12\cos^2(x)) -