Question

sin 5x sin x =sin 7x sin 3x

Answer 1

1/2 (cos(4 x)-cos(6 x)) = 1/2 (cos(4 x)-cos(10 x))

 sin^2(x) (2 cos(2 x)+2 cos(4 x)+1) = sin^2(x) (2 cos(2 x)+1) (2 cos(2 x)+2 cos(4 x)+2 cos(6 x)+1)

 

 x = 0       x = pi n, n element Z

 x = -pi      x = pi n-pi/2, n element Z

 

Answer 2

Конечно, решим данное уравнение шаг за шагом, используя тригонометрические тождества.

У вас есть уравнение:

\[ \sin(5x) + \sin(x) = \sin(7x) + \sin(3x) \]

Используем тригонометрическое тождество для суммы синусов:

\[ \sin(A) + \sin(B) = 2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) \]

Применим это тождество к вашему уравнению:

\[ \sin(5x) + \sin(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{5x + x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{5x - x}{2}\right) \] \[ \sin(5x) + \sin(x) = 2 \cdot \sin(3x) \cdot \cos(2x) \]

Используем это тождество для разности синусов:

\[ \sin(A) - \sin(B) = 2 \cdot \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \]

Применим его к уравнению:

\[ \sin(7x) + \sin(3x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{7x - 3x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{7x + 3x}{2}\right) \] \[ \sin(7x) + \sin(3x) = 2 \cdot \sin(2x) \cdot \cos(5x) \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ 2 \cdot \sin(3x) \cdot \cos(2x) = 2 \cdot \sin(2x) \cdot \cos(5x) \]

Мы можем сократить обе стороны на \(2\) и получим:

\[ \sin(3x) \cdot \cos(2x) = \sin(2x) \cdot \cos(5x) \]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами для произведения синуса и косинуса:

\[ \sin(A) \cdot \cos(B) = \frac{1}{2} \cdot [\sin(A + B) + \sin(A - B)] \]

Применим это к уравнению:

\[ \frac{1}{2} \cdot [\sin(3x + 2x) + \sin(3x - 2x)] = \frac{1}{2} \cdot [\sin(2x + 5x) + \sin(2x - 5x)] \] \[ \frac{1}{2} \cdot [\sin(5x) + \sin(x)] = \frac{1}{2} \cdot [\sin(7x) + \sin(-3x)] \] \[ \sin(5x) + \sin(x) = \sin(7x) - \sin(3x) \]

Это не совсем совпадает с вашим изначальным уравнением. Вероятно, в процессе решения была допущена ошибка. Если вы приведете изначальное уравнение еще раз, я могу повторно помочь вам с его решением!