Question

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка. y'*cosx=(y+1)sinx

Answer 1

y ' * cos x = (y +1) * sin x

dy/dx = (y + 1) * sin x / cos x

dy / (y + 1) = sinx/cosx dx

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрировав обе части, получаем

ln I y + 1 I = - ln I cos x I + ln C

y + 1 = C / cos x

y = C / cos x - 1

Answer 2

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения первого порядка, необходимо применить метод разделения переменных и проинтегрировать обе части уравнения отдельно.

Исходное уравнение: y' * cos(x) = (y + 1) * sin(x)

Разделение переменных

Для разделения переменных переместим все слагаемые, содержащие y, в одну часть уравнения, а все слагаемые, содержащие x, в другую. Также поделим обе части на (y + 1) * cos(x):

(1 / (y + 1)) * dy = sin(x) * dx

Интегрирование

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения отдельно:

∫(1 / (y + 1)) * dy = ∫sin(x) * dx

Интегрируя левую часть: ln|y + 1| = -cos(x) + C1

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Интегрируя правую часть: ∫sin(x) * dx = -cos(x) + C2

где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Общее решение

Объединим полученные результаты и решим уравнение относительно y:

ln|y + 1| = -cos(x) + C1

Возведем обе части уравнения в экспоненту:

|y + 1| = e^(-cos(x) + C1)

Разделим общее решение на два случая, в зависимости от значения C1:

1. Если C1 = 0: |y + 1| = e^(-cos(x)) Так как абсолютное значение |y + 1| не может быть отрицательным, мы можем переписать это уравнение как: y + 1 = e^(-cos(x)) y = e^(-cos(x)) - 1

2. Если C1 ≠ 0: |y + 1| = C * e^(-cos(x)), где C = e^(C1) В этом случае, уравнение разделяется на два подслучая: - y + 1 = C * e^(-cos(x)) y = C * e^(-cos(x)) - 1 - y + 1 = -C * e^(-cos(x)) y = -C * e^(-cos(x)) - 1

Таким образом, мы получили два общих решения дифференциального уравнения первого порядка y'*cos(x) = (y + 1)*sin(x): 1. y = e^(-cos(x)) - 1 2. y = C * e^(-cos(x)) - 1 или y = -C * e^(-cos(x)) - 1, где C - произвольная постоянная.