Question

У МНОГОЧЛЕНА p(x)=(1-3x)^5 найдите коэффициент при x^3

Answer 1

Р(х)=(1-3х)^5
3р=(1-9)^5
3р=-40
р=-13,3

Answer 2

Для нахождения коэффициента при \(x^3\) в многочлене \(p(x) = (1 - 3x)^5\), мы можем воспользоваться биномом Ньютона. Общая формула для бинома Ньютона выглядит следующим образом:

\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]

где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -3x\), и \(n = 5\). Таким образом, мы можем записать многочлен в виде:

\[p(x) = (1 - 3x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 1^{5-k} (-3x)^k\]

Теперь нас интересует коэффициент при \(x^3\). Это соответствует случаю, когда \(k = 2\), так как \(k\) в подсумме отвечает за степень \(x\) в каждом слагаемом. Таким образом, мы можем записать формулу для коэффициента при \(x^3\):

\[\binom{5}{2} 1^{5-2} (-3x)^2 = \binom{5}{2} (-3)^2 x^3\]

Теперь давайте вычислим это:

\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

Теперь подставим это обратно в нашу формулу:

\[10 \cdot (-3)^2 x^3 = 10 \cdot 9 x^3 = 90x^3\]

Итак, коэффициент при \(x^3\) в многочлене \(p(x) = (1 - 3x)^5\) равен 90.