Question

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x)= x^2-4/x^2+1

Answer 1

ДАНО

Y=(x²-4)/(x²+1)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. x = 0. В числителе - (x² - 4) = (x-2)*(x +2) = 0

x1 = -2, x2 = 2 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = -4. 

4. Поведение на бесконечности.  

$\lim_{n \to \infty} \frac{x^2-4}{x^2+1}= \frac{1-0}{1+0}=1$

Горизонтальная асимптота - Y =  1.

5. Исследование на чётность.Y(-x) =  Y(x). Функция чётная. 

6. Производная функции.

$Y'(x)= \frac{2x}{x^2+1}- \frac{2x*(x^2-4)}{(x^2+1)^2}=0$

7. Локальные экстремумы. 

Максимума - нет, минимум  – Ymin(0)  = -4.

8. Интервалы монотонности. 

Убывает - Х∈(-∞;0]. Возрастает - Х∈[0;+∞)

9. Вторая производная - Y"(x).

Корни производной - точки перегиба:  х1 =-√3/3, х3=√3/3.  (≈0.58) 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-√3/3)∪(√3/3;+∞), 

Вогнутая – «ложка» Х∈(-√3/3;√3/3). 

10. Область значений Е(у) У∈(-4;1) 

11. График в приложении

Answer 2

Хорошо, давайте рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1} \) и проанализируем ее с использованием производной. Затем мы построим график функции.

1. Найдем производную функции \( f(x) \):

Начнем с записи функции:

\[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1} \]

Теперь найдем производную по \( x \):

\[ f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(2x) - (x^2 - 4)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]

Упростим выражение:

\[ f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 8x}{(x^2 + 1)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{10x}{(x^2 + 1)^2} \]

2. Исследование производной:

2.1. Нули производной:

\[ 10x = 0 \]

Отсюда получаем, что \( x = 0 \). Это - единственный ноль производной.

2.2. Знак производной в интервалах:

Рассмотрим три интервала: \( (-\infty, -\sqrt{5}) \), \( (-\sqrt{5}, 0) \), \( (0, \sqrt{5}) \), \( (\sqrt{5}, +\infty) \).

Выберем точку из каждого интервала для тестирования знака производной:

- Для интервала \( (-\infty, -\sqrt{5}) \), выберем \( x = -\sqrt{6} \) (любое число между 0 и \(-\sqrt{5}\)). - Для интервала \( (-\sqrt{5}, 0) \), выберем \( x = -1 \). - Для интервала \( (0, \sqrt{5}) \), выберем \( x = 1 \). - Для интервала \( (\sqrt{5}, +\infty) \), выберем \( x = \sqrt{6} \) (любое число между 0 и \(\sqrt{5}\)).

Подставим эти значения в производную и определим знак:

- При \( x = -\sqrt{6} \): \( f'(-\sqrt{6}) = \frac{-10\sqrt{6}}{(6 + 1)^2} < 0 \) - При \( x = -1 \): \( f'(-1) = \frac{-10}{(1 + 1)^2} < 0 \) - При \( x = 1 \): \( f'(1) = \frac{10}{(1 + 1)^2} > 0 \) - При \( x = \sqrt{6} \): \( f'(\sqrt{6}) = \frac{10\sqrt{6}}{(6 + 1)^2} > 0 \)

3. Построим график функции:

Теперь построим график функции \( f(x) \) и ее производной \( f'(x) \), используя полученные результаты.

\[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1} \]

\[ f'(x) = \frac{10x}{(x^2 + 1)^2} \]

На графике учтем нули производной и изменения знака в интервалах.

Давайте построим график.