Question

Исследовать с помощью производной функцию и построить график f(x)=x^3-4x^2

Answer 1

Решение во вложении.                    

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^3 - 4x^2 с помощью производной, мы сначала найдем производную функции. Затем, используя полученную производную, мы определим экстремумы, интервалы возрастания и убывания, а также точки перегиба.

1. Найдем производную функции f'(x): f'(x) = 3x^2 - 8x

2. Определим точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 8x = 0 x(3x - 8) = 0 x = 0 или x = 8/3

3. Определим знак производной на интервалах: - Берем произвольную точку до x = 0, например, x = -1: f'(-1) = 3(-1)^2 - 8(-1) = 3 + 8 = 11 (положительное) - Берем произвольную точку между x = 0 и x = 8/3, например, x = 1: f'(1) = 3(1)^2 - 8(1) = 3 - 8 = -5 (отрицательное) - Берем произвольную точку после x = 8/3, например, x = 3: f'(3) = 3(3)^2 - 8(3) = 27 - 24 = 3 (положительное)

Итак, производная положительна на интервалах (-∞, 0) и (8/3, +∞), а отрицательна на интервале (0, 8/3).

4. Определим экстремумы: Поскольку функция f'(x) имеет только одну корень x = 0, то f(x) имеет экстремум только в этой точке. При x = 0, значение функции f(x) равно f(0) = 0^3 - 4(0)^2 = 0.

5. Определим точки перегиба: Точки перегиба будут находиться там, где производная функции f'(x) меняет знак. Поскольку производная имеет только одну перемену знака на интервале (0, 8/3), то точка перегиба будет находиться где-то в этом интервале.

6. Построим график функции f(x):

Теперь мы можем построить график функции f(x) = x^3 - 4x^2. На основе результатов исследования, мы знаем, что у функции есть экстремум в точке (0, 0) и точка перегиба находится где-то между x = 0 и x = 8/3. Для более точного построения графика, можно также использовать таблицу значений или программы для построения графиков.