Question

Докажите , что при любом натуральном значении n выражение 7^n • 2^3n - 3^2n кратно 47.

Answer 1

Нужно представить в виде произведения, где один из множителей 47

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг базы: При n = 1 получаем значение выражения: 7^1 • 2^3 • 1 - 3^2 • 1 = 7 • 8 - 9 = 56 - 9 = 47, что является кратным числу 47.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа k выражение 7^k • 2^3k - 3^2k кратно числу 47.

Докажем, что это утверждение верно для k + 1: Рассмотрим выражение для k + 1: 7^(k+1) • 2^3(k+1) - 3^2(k+1) = 7^k • 7 • 2^3k • 2^3 - 3^2k • 3^2 = 7^k • 2^3k • 7 • 8 - 3^2k • 9 = (7^k • 2^3k • 8 - 3^2k • 9) • 7.

Заметим, что выражение в скобках является исходным выражением для k, умноженным на 7. По предположению индукции, исходное выражение для k кратно 47. Тогда (7^k • 2^3k • 8 - 3^2k • 9) кратно 47, а значит и всё выражение (7^k • 2^3k • 8 - 3^2k • 9) • 7 кратно 47.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального значения n выражение 7^n • 2^3n - 3^2n кратно числу 47.