Question

tgx-4ctgx=3 ..........

Answer 1

$tgx-4ctgx=3\\ tgx-4\cdot \frac{1}{tgx} =3$
Умножим обе части уравнения tg(x) и при этом tgx≠0, получим
$tg^2x-3tgx-4=0$
Это уравнение решим как квадратное уравнение относительно tgx
$D=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=25$
$tgx= \dfrac{3+5}{2}=4;~~~\Rightarrow~~~~ \boxed{x_1=arctg4+ \pi n,n \in \mathbb{Z}} \\ \\ tgx= \dfrac{3-5}{2}=-1;~~~\Rightarrow~~~~ \boxed{x_1=- \frac{\pi}{4} + \pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение более подробно. У нас есть уравнение tg(x) - 4ctg(x) = 3.

Для начала, давайте преобразуем это уравнение, используя тригонометрические тождества.

Тангенс и котангенс - это обратные функции синуса и косинуса соответственно. Поэтому мы можем заменить tg(x) на sin(x)/cos(x) и ctg(x) на cos(x)/sin(x).

Итак, уравнение станет sin(x)/cos(x) - 4cos(x)/sin(x) = 3.

Для удобства приведем оба слагаемых к общему знаменателю. Умножим первое слагаемое на sin(x) и второе на cos(x):

sin(x)^2/cos(x) - 4cos(x)^2/sin(x) = 3sin(x)cos(x).

Теперь приведем оба слагаемых к общему знаменателю, умножив первое слагаемое на sin(x) и второе на cos(x):

sin(x)^2 - 4cos(x)^2 = 3sin(x)cos(x).

Мы можем использовать тригонометрическую формулу cos(2x) = 1 - 2sin(x)^2, чтобы заменить sin(x)^2 в уравнении:

1 - cos(2x) - 4cos(x)^2 = 3sin(x)cos(x).

Теперь мы можем заменить sin(x)cos(x) на 0.5sin(2x):

1 - cos(2x) - 4cos(x)^2 = 1.5sin(2x).

Порядок уравнения можно упростить, выразив cos(2x) через cos(x):

1 - (1 - 2cos(x)^2) - 4cos(x)^2 = 1.5sin(2x).

Раскроем скобки и упростим:

-6cos(x)^2 + 2 = 1.5sin(2x).

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу sin(2x) = 2sin(x)cos(x), чтобы заменить sin(2x) в уравнении:

-6cos(x)^2 + 2 = 1.5 * 2sin(x)cos(x).

Упростим это уравнение дальше:

-6cos(x)^2 + 2 = 3sin(x)cos(x).

Мы видим, что у нас есть два слагаемых, которые содержат cos(x) и sin(x). Давайте приведем их к общему знаменателю, умножив первое слагаемое на sin(x) и второе на cos(x):

-6sin(x)cos(x)^2 + 2cos(x) = 3sin(x)cos(x).

Теперь мы можем вынести общий множитель sin(x)cos(x) за скобки:

sin(x)cos(x)(-6cos(x) + 2) = 3sin(x)cos(x).

Заметим, что sin(x)cos(x) отлично сокращаются на обеих сторонах уравнения.

Таким образом, у нас остается одно подуравнение:

-6cos(x) + 2 = 3.

Решим это уравнение относительно cos(x):

-6cos(x) = 1.

cos(x) = -1/6.

Теперь мы знаем значение cos(x), но чтобы найти значения x, нам нужно рассмотреть область определения функции тангенса. Тангенс не определен для значений cos(x) = 0, поэтому мы должны исключить такие значения из возможных решений.

Таким образом, уравнение tg(x) - 4ctg(x) = 3 имеет решение cos(x) = -1/6, но мы должны проверить, что cos(x) ≠ 0. Если cos(x) ≠ 0, то мы можем найти соответствующие значения x, используя обратные функции тригонометрии.

Note: Пожалуйста, обратите внимание, что я предоставил математическое решение вашего уравнения, но не привел конкретные значения x. Решение этого уравнения требует дальнейшего анализа и использования тригонометрических формул. Если вам нужны конкретные значения x, пожалуйста, уточните условия или задайте дополнительные вопросы.