Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=1/2cos2x+sinx на отрезке [0;π/2]. Распишите производную, пожалуйста,полностью

Answer 1

y = (1/2)•cos2x + sinx

y' = ( (1/2)•cos2x + sinx )' = ((1/2)•cos2x)' + (sinx)' = (1/2)•(-sin2x)•(2x)' + cosx = (1/2)•(-sin2x)•2 + cosx = - sin2x + cosx

y' = - sin2x + cosx , y' = 0

- sin2x + cosx = 0

- 2sinx•cosx + cosx = 0

cosx•(- 2sinx + 1) = 0

1) cosx = 0

x = п/2 + пn, n принадлежит Z

2) sinx = 1/2

x = п/6 + 2пk, k принадлежит Z

x = 5п/6 + 2пm, m принадлежит Z

п/2 и п/6 принадлежат  [0;п/2]

у' -------[(0)++++++(п/6)-------(п/2)]-------

Унаиб(п/6) = (1/2)•cos(п/3) + sin(п/6) = (1/2)•(1/2) + (1/2) = 0,25 + 0,5 = 0,75

Унаим(0) = (1/2)•cos0 + sin0 = (1/2) + 0 = 0,5

Унаим(п/2) = (1/2)•cosп + sin(п/2) = - (1/2) + 1 = 0,5

ОТВЕТ: у(наиб) = 0,75 ; у(наим) = 0,5

Answer 2

Y=1/2cos2x+sinx

y'=1/2 *(-sin2x)*2+cosx=-sin2x+cosx

cosx-2sinxcosx=0
cosx(1-2sinx)=0
1)cosx=0;x=π/2
2)1-2sinx=0
sinx=1/2
x=π/6

y(0)=1/2
y(π/6)=1/2 *cosπ/3+sinπ/6=1/4+1/2=3/4
y(π/2)=1/2 *cosπ+sinπ/2=-1/2+1=1/2
y(max)=3/4
y(min)=1/2

Answer 3

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \(y = \frac{1}{2}\cos(2x) + \sin(x)\) на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\), мы будем использовать производные. Сначала найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).

Имеем функцию \(y = \frac{1}{2}\cos(2x) + \sin(x)\).

1. Найдем производную первого слагаемого: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = -\sin(2x).\]

2. Найдем производную второго слагаемого: \[ \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x).\]

Теперь найдем производную функции \(y\): \[ \frac{dy}{dx} = -\sin(2x) + \cos(x).\]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ -\sin(2x) + \cos(x) = 0.\]

Решим это уравнение для \(x\) на интервале \([0; \frac{\pi}{2}]\). Заметим, что \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), поэтому уравнение можно переписать: \[ -2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0.\]

Факторизуем: \[ \cos(x)(-2\sin(x) + 1) = 0.\]

Отсюда получаем два уравнения: \[ \cos(x) = 0 \quad \text{и} \quad -2\sin(x) + 1 = 0.\]

1. Для \(\cos(x) = 0\), решение на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\) - \(x = \frac{\pi}{2}\).

2. Для \(-2\sin(x) + 1 = 0\), решение - \(\sin(x) = \frac{1}{2}\), что соответствует \(x = \frac{\pi}{6}\).

Теперь оценим значения функции \(y\) в найденных точках, а также на концах отрезка \([0; \frac{\pi}{2}]\), то есть при \(x = 0\) и \(x = \frac{\pi}{2}\):

1. \(x = 0\): \(y = \frac{1}{2}\cos(0) + \sin(0) = \frac{1}{2}\). 2. \(x = \frac{\pi}{6}\): \(y = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}\). 3. \(x = \frac{\pi}{2}\): \(y = \frac{1}{2}\cos(\pi) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). 4. \(x = \frac{\pi}{2}\): \(y = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\).

Итак, мы нашли значения функции в критических точках и на концах отрезка. Максимальное значение функции на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\) - это \(\frac{1}{2}\), достигаемое при \(x = 0\), а минимальное значение - \(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}\), достигаемое при \(x = \frac{\pi}{6}\).