Question

За якого найменшого значення параметра a рівняння 2cos4x=a-5 має корені

Answer 1

2cos4x=a-5
$cos4x= \frac{a-5}{2}, \\ -1\leq \frac{a-5}{2} \leq 1 \\ -2\leq a-5 \leq 2 \\ 3\leq a \leq 7$
наименьшее 3))

Answer 2

Давайте розглянемо рівняння 2cos(4x) = a - 5 та з'ясуємо за якого найменшого значення параметра a воно має корені.

Спочатку зауважимо, що косинус приймає значення в інтервалі [-1, 1]. Тобто, максимальне можливе значення виразу 2cos(4x) - 5 дорівнює 2 - 5 = -3, а мінімальне значення буде -2 - 5 = -7.

Рівняння 2cos(4x) = a - 5 можна переписати у вигляді cos(4x) = (a - 5)/2. Тепер ми знаємо, що значення cos(4x) лежать в інтервалі [-1, 1]. Отже, (a - 5)/2 повинно бути також у цьому інтервалі.

Максимально можлимальне значення (a - 5)/2 дорівнює (2 - 5)/2 = -3/2, а мінімальне значення -7/2. Таким чином, щоб вираз (a - 5)/2 лежав в інтервалі [-1, 1], потрібно, щоб -7/2 ≤ (a - 5)/2 ≤ -3/2.

Ми можемо помножити обидві частини нерівності на 2, отримаємо -7 ≤ a - 5 ≤ -3, і, додаючи 5 до всіх частин нерівності, отримаємо -2 ≤ a ≤ 2.

Отже, параметр a повинен бути в інтервалі від -2 до 2, щоб рівняння 2cos(4x) = a - 5 мало корені.