Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функцииf(x) =-5x^2 - 20x+3 (-1;3)f(x) =x^4-2x^2 +3 (-4;3)f(x)=18x^2+8x^3-3x^4 (1;3)f(x) =-3x^2+9x-4 (0;2)​

Answer 1

Ответ в закрепе..............

Answer 2

Итак, у нас есть четыре функции, и мы хотим найти их наибольшие и наименьшие значения в заданных интервалах. Давайте рассмотрим каждую функцию по очереди и найдем ее экстремумы.

Функция f(x) = -5x^2 - 20x + 3 в интервале (-1, 3):

Для начала, найдем производную функции f(x):

f'(x) = -10x - 20

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-10x - 20 = 0

Решая это уравнение, получим:

x = -2

Теперь, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, возьмем вторую производную:

f''(x) = -10

Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что точка x = -2 является максимумом функции f(x) в интервале (-1, 3).

Далее, найдем значение функции f(x) в этой точке:

f(-2) = -5(-2)^2 - 20(-2) + 3 = -5(4) + 40 + 3 = -20 + 40 + 3 = 23

Итак, наибольшее значение функции f(x) = -5x^2 - 20x + 3 в интервале (-1, 3) равно 23.

Теперь найдем наименьшее значение функции в этом же интервале.

Для этого мы можем рассмотреть границы интервала и точки экстремума, а также значения функции в этих точках.

f(-1) = -5(-1)^2 - 20(-1) + 3 = -5 + 20 + 3 = 18 f(3) = -5(3)^2 - 20(3) + 3 = -45 - 60 + 3 = -102

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = -5x^2 - 20x + 3 в интервале (-1, 3) равно -102.

Функция f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 в интервале (-4, 3):

Для этой функции мы снова найдем производную:

f'(x) = 4x^3 - 4x

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4x^3 - 4x = 0

Факторизуя это уравнение, получим:

4x(x^2 - 1) = 0

Таким образом, у нас есть три возможных значения x: x = 0, x = 1 и x = -1.

Теперь найдем значения функции f(x) в этих точках:

f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2

Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 в интервале (-4, 3) равны соответственно 3 и 2.

Функция f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4 в интервале (1, 3):

Снова найдем производную:

f'(x) = 36x + 24x^2 - 12x^3

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

36x + 24x^2 - 12x^3 = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

12x(x^2 + 2x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть три возможных значения x: x = 0, x = 1 и x = -3.

Теперь найдем значения функции f(x) в этих точках:

f(1) = 18(1)^2 + 8(1)^3 - 3(1)^4 = 18 + 8 - 3 = 23 f(-3) = 18(-3)^2 + 8(-3)^3 - 3(-3)^4 = 162 - 216 - 243 = -297

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4 в интервале (1, 3) равно 23, а наименьшее значение равно -297.

Функция f(x) = -3x^2 + 9x - 4 в интервале (0, 2):

Найдем производную:

f'(x) = -6x + 9

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-6x + 9 = 0

Решая это уравнение, получим:

x = 3/2

Для определения, является ли это максимумом или минимумом, возьмем вторую производную:

f''(x) = -6

Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что точка x = 3/2 является максимумом функции f(x) в интервале (0, 2).

Теперь найдем значение функции f(x) в этой точке:

f(3/2) = -3(3/2)^2 + 9(3/2) - 4 = -27/4 + 27/2 - 4 = -27/4 + 54/4 - 16/4 = 11/4

Итак, наибольшее значение функции f(x) = -3x^2 + 9x - 4 в интервале (0, 2) равно 11/4.

Теперь найдем наименьшее значение функции в этом же интервале.

f(0) = -3(0)^2 + 9(0) - 4 = -4 f(2) = -3(2)^2 + 9(2) - 4 = -12 + 18 - 4 = 2

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = -3x^2 + 9x - 4 в интервале (0, 2) равно -4.

Итак, мы нашли наибольшие и наименьшие значения для каждой из четырех функций в заданных интервалах.

Резюмируя:

1. Для функции f(x) = -5x^2 - 20x + 3 в интервале (-1, 3): - Наибольшее значение: 23 - Наименьшее значение: -102

2. Для функции f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 в интервале (-4, 3): - Наибольшее значение: 3 - Наименьшее значение: 2

3. Для функции f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4 в интервале (1, 3): - Наибольшее значение: 23 - Наименьшее значение: -297

4. Для функции f(x) = -3x^2 + 9x - 4 в интервале (0, 2): - Наибольшее значение: 11/4 - Наименьшее значение: -4

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пож