Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y=2x^2+6x-3y=-x^2+x+5

Answer 1

Y=-x^2+2x+3Найдем точки пересечения параболы с осью OX   -x^2+2x+3=0   x^2-2x-3=0   D=b^2-4ac=16x1=3x2=-1S=int (-x^2+2x+3)dx от -1 до 3 = (-x^3/3+x^2+3x ) от -1 до 3 = 9-(-1 2/3)=10 2/3 2) y=-2*(x-3)^2+2    Найдем точки пересечения параболы с осью OX    -2*(x-3)^2+2=0     Сделаем замену t=x-3     -2t^2+2=0      t^2=1      t1=1      t2=-1То есть      a) x-3=1 => x=4      б) x-3=-1 => x=2тогда      s= int(-2*(x-3)^2+2)dx от 2 до 4 =(-2*(x-3)^3/3 +2x) от 2 до 4 =22/3 - 14/3 = 8/3 = 2 2/3  

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболами y=2x^2+6x-3 и y=-x^2+x+5, мы должны найти точки пересечения этих двух парабол. Затем мы можем использовать интеграл для вычисления площади между этими двумя кривыми.

Нахождение точек пересечения парабол:

Для нахождения точек пересечения парабол, мы должны решить систему уравнений, состоящую из этих двух парабол. Подставим y из одного уравнения в другое и решим полученное уравнение относительно x.

Уравнение 1: y = 2x^2 + 6x - 3 Уравнение 2: y = -x^2 + x + 5

Подставим y из уравнения 1 в уравнение 2: 2x^2 + 6x - 3 = -x^2 + x + 5

Теперь решим это уравнение относительно x.

Решение уравнения:

2x^2 + 6x - 3 + x^2 - x - 5 = 0 3x^2 + 5x - 8 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или метода факторизации. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.

Дискриминант (D) равен: D = b^2 - 4ac

В нашем случае: a = 3, b = 5, c = -8

Подставим значения в формулу дискриминанта: D = 5^2 - 4 * 3 * (-8) D = 25 + 96 D = 121

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня.

Корни уравнения: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)

Подставим значения в формулу: x1 = (-5 + sqrt(121)) / (2 * 3) x2 = (-5 - sqrt(121)) / (2 * 3)

Вычислим корни:

x1 = (-5 + 11) / 6 x1 = 6 / 6 x1 = 1

x2 = (-5 - 11) / 6 x2 = -16 / 6 x2 = -8 / 3

Теперь, когда у нас есть значения x, мы можем найти соответствующие значения y, подставив их в одно из исходных уравнений.

Для x = 1: y = 2 * 1^2 + 6 * 1 - 3 y = 2 + 6 - 3 y = 5

Для x = -8/3: y = 2 * (-8/3)^2 + 6 * (-8/3) - 3 y = 2 * (64/9) - 48/3 - 3 y = 128/9 - 48/3 - 3 y = 128/9 - 144/9 - 27/9 y = -43/9

Таким образом, точки пересечения парабол y=2x^2+6x-3 и y=-x^2+x+5 равны (1, 5) и (-8/3, -43/9).

Вычисление площади фигуры:

Теперь, когда у нас есть точки пересечения парабол, мы можем использовать интеграл для вычисления площади фигуры, ограниченной этими двумя кривыми.

Площадь фигуры можно вычислить как разность интегралов двух функций, где верхняя функция - это парабола y=2x^2+6x-3, а нижняя функция - это парабола y=-x^2+x+5.

Площадь фигуры = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx, где x изменяется от x1 до x2.

Вычислим интеграл:

Площадь фигуры = ∫(2x^2 + 6x - 3 - (-x^2 + x + 5)) dx, где x изменяется от -8/3 до 1

Площадь фигуры = ∫(3x^2 + 5x - 8) dx, где x изменяется от -8/3 до 1

Теперь мы можем вычислить этот интеграл численно или аналитически. Однако, для данного случая, численное вычисление интеграла может быть более удобным.

Примечание: Для численного вычисления интеграла, можно использовать методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод тrapezoidal, или метод Simpson.

Пожалуйста, уточните, какой метод численного интегрирования вы предпочитаете использовать для вычисления площади фигуры, ограниченной параболами y=2x^2+6x-3 и y=-x^2+x+5.