Question

Решите уравнение sin 2x = cos 3x

Answer 1

sin2x=cos3x 

Преобразуем cos в sin так как cos3x = sin(пи/2-3x)

 sin2x - sin(пи/2-3x) = 0

2sin((2x-(пи/2-3x))/2)*cos((2x+(пи/2-3x))/2) = 0

  sin((5x-пи/2)/2)*cos((-x+пи/2)/2) = 0

  sin(5x/2-пи/4)*cos(x/2 -пи/4) = 0 

  sin(5x/2-пи/4) = 0                                  cos(x/2-пи/4) = 0  

  5x/2-пи/4= пи*n                                     x/2-пи/4 = пи/2+пи*n

  x = 2пи*n/5+ пи/10                                 x=  3пи/2 + 2пи*n

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x) = cos(3x) мы можем использовать тригонометрические идентичности и свойства синуса и косинуса.

Начнем с преобразования уравнения, чтобы выразить все функции через синус или косинус одного и того же угла. Мы знаем, что sin(2x) = sin(π/2 - 2x) и cos(3x) = sin(π/2 - 3x). Теперь уравнение выглядит следующим образом: sin(π/2 - 2x) = sin(π/2 - 3x).

Для того чтобы две функции синуса были равны, их аргументы должны быть равны или сумма аргументов должна быть кратна 2π. Таким образом, у нас есть два случая:

1. Оба аргумента равны: π/2 - 2x = π/2 - 3x. В этом случае x не имеет значения, так как оба аргумента равны. Уравнение имеет бесконечное количество решений.

2. Сумма аргументов кратна 2π: π/2 - 2x + π/2 - 3x = 2kπ, где k - целое число. Раскрывая скобки и упрощая, получим: 2π - 5x = 2kπ. Переносим 5x на одну сторону и упрощаем: 5x = 2π - 2kπ. Затем делим обе стороны на 5 и получаем: x = (2π - 2kπ)/5.

Таким образом, уравнение sin(2x) = cos(3x) имеет бесконечное количество решений и может быть записано в общем виде как x = (2π - 2kπ)/5, где k - целое число.