Question

Решить уравнение и найти корни принадлежащие промежутку [0; π] СРОЧНО, ПОЖАЛУЙСТА! (sin2x+sin π/4)(sin2x+4)=0

Answer 1

Solved $\checkmark$

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \( (\sin^2 2x + \sin \frac{\pi}{4})(\sin^2 2x + 4) = 0 \) и найдем корни на интервале \([0, \pi]\).

Уравнение имеет два множителя, и чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Таким образом, у нас есть два уравнения для рассмотрения:

1. \(\sin^2 2x + \sin \frac{\pi}{4} = 0\) 2. \(\sin^2 2x + 4 = 0\)

Решим первое уравнение:

\(\sin^2 2x + \sin \frac{\pi}{4} = 0\)

Переносим \(\sin \frac{\pi}{4}\) на другую сторону:

\(\sin^2 2x = -\sin \frac{\pi}{4}\)

Теперь используем тригонометрическую идентичность \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\):

\(\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(1 - \cos^2 2x = -\sin \frac{\pi}{4}\)

Решим для \(\cos 2x\):

\(\cos^2 2x = 1 + \sin \frac{\pi}{4}\)

\(\cos 2x = \pm \sqrt{1 + \sin \frac{\pi}{4}}\)

Теперь найдем углы \(2x\):

\(2x = \pm \cos^{-1}(\sqrt{1 + \sin \frac{\pi}{4}})\)

Решим для \(2x\):

\(x = \frac{\pm \cos^{-1}(\sqrt{1 + \sin \frac{\pi}{4}})}{2}\)

Теперь решим второе уравнение:

\(\sin^2 2x + 4 = 0\)

\(\sin^2 2x = -4\)

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как \(\sin^2\) не может быть отрицательным числом.

Таким образом, у нас есть два корня для первого уравнения на интервале \([0, \pi]\):

\(x = \frac{\cos^{-1}(\sqrt{1 + \sin \frac{\pi}{4}})}{2}\) и \(x = -\frac{\cos^{-1}(\sqrt{1 + \sin \frac{\pi}{4}})}{2}\).