Question

!!!!!Найдите точку максимума функции y = x^2*е^х .

Answer 1

Берем производную из функции:
y'=(x^2*e^x)'
y'=(x^2)'*e^x+(e^x)'*x^2
y'=2x*e^x+x^2*e^x
Чтобы найти максимум функции y'=0:
x*e^x(2+x)=0
x*e^x=0
x1=0

2+x=0
x2=-2
Если поставить вместо x - x1 и x2 то:
y(x1)<y(x2)
Следовательно:
у(x2) является максимумом
у(x2)=4/e^2

Answer 2

Для того, чтобы найти точку максимума функции y = x^2*е^х, нужно выполнить следующие шаги:

- Найти производную функции y' по правилу произведения: y' = (x^2)'*е^х + x^2*(е^х)' = 2x*е^х + x^2*е^х = е^х*(2x + x^2). - Приравнять производную к нулю и решить уравнение относительно x: е^х*(2x + x^2) = 0. Это уравнение имеет единственный корень x = -2, так как е^х не может быть равно нулю. - Исследовать знаки производной на интервалах (-∞; -2) и (-2; +∞). Для этого можно составить таблицу знаков:

| x | (-∞; -2) | -2 | (-2; +∞) | | y' | + | 0 | - |

- По таблице знаков видно, что в точке x = -2 производная меняет знак с «плюса» на «минус», что означает, что функция y имеет в этой точке локальный максимум. Чтобы найти значение функции в этой точке, нужно подставить x = -2 в исходное уравнение: y(-2) = (-2)^2*е^(-2) = 4/е^2 ≈ 0.54. - Ответ: точка максимума функции y = x^2*е^х имеет координаты (-2; 0.54).