Question

Исследуйте функцию на мнотонность и экстремумы. y=2cosx + x, если 0<=x<=π y=x^3+x+2, если x<0. P.S. Это система уравнений.

Answer 1

Есть только такое решение

Answer 2

Исследование функции на монотонность и экстремумы

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, нам нужно проанализировать ее производные и вторые производные. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

# Функция y = 2cos(x) + x, если 0 <= x <= π

Для начала, найдем производные этой функции.

Первая производная: y' = -2sin(x) + 1

Вторая производная: y'' = -2cos(x)

Теперь, рассмотрим монотонность и экстремумы этой функции.

Монотонность: Чтобы определить монотонность функции, мы должны проанализировать знак ее первой производной.

- Когда y' > 0, функция возрастает. - Когда y' < 0, функция убывает.

В данном случае, первая производная y' = -2sin(x) + 1. Заметим, что sin(x) принимает значения от -1 до 1. Таким образом, -2sin(x) принимает значения от -2 до 2. Прибавление 1 не изменяет знака этого выражения.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Когда -2sin(x) + 1 > 0, функция возрастает. - Когда -2sin(x) + 1 < 0, функция убывает.

Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, мы должны проанализировать значения второй производной.

- Когда y'' > 0, функция имеет локальный минимум. - Когда y'' < 0, функция имеет локальный максимум.

В данном случае, вторая производная y'' = -2cos(x). Заметим, что cos(x) принимает значения от -1 до 1. Таким образом, -2cos(x) принимает значения от -2 до 2.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Когда -2cos(x) > 0, функция имеет локальный максимум. - Когда -2cos(x) < 0, функция имеет локальный минимум.

# Функция y = x^3 + x + 2, если x < 0

Для этой функции, мы также найдем ее производные.

Первая производная: y' = 3x^2 + 1

Вторая производная: y'' = 6x

Теперь, рассмотрим монотонность и экстремумы этой функции.

Монотонность: Аналогично предыдущей функции, мы должны проанализировать знак первой производной, чтобы определить монотонность функции.

В данном случае, первая производная y' = 3x^2 + 1. Заметим, что 3x^2 всегда будет неотрицательным, а прибавление 1 не изменит знака этого выражения.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция y = x^3 + x + 2 возрастает на всем интервале x < 0.

Экстремумы: Для определения экстремумов, мы должны проанализировать значения второй производной.

В данном случае, вторая производная y'' = 6x. Заметим, что это линейная функция, которая принимает значения от -∞ до +∞.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие вывод