Question

Найти производную f(x)=5sin^4(1/16 x^4-1)

Answer 1

Правила ввода функцийВ функции f можно делать следующие операции:Действительные числавводить в виде 7.5, не 7,52*x- умножение3/x- делениеx^3- возведение в степеньx + 7- сложениеx - 6- вычитаниеФункция f может состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):absolute(x)Функция - абсолютное значение x (модуль x или |x|)arccos(x)Функция - арккосинус от xarccosh(x)Функция - арккосинус гиперболический от xarcsin(x)Функция - арксинус от xarcsinh(x)Функция - арксинус гиперболический от xarctan(x)Функция - арктангенс от xarctanh(x)Функция - арктангенс гиперболический от xeФункция - e это то, которое примерно равно 2.7exp(x)Функция - экспонента от x (тоже самое, что и e^x)floor(x)Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)log(x) or ln(x)Функция - Натуральный логарифм от x (Чтобы получитьlog7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например дляlog10(x)=log(x)/log(10))piЧисло - "Пи", которое примерно равно 3.14sign(x)Функция - Знак xsin(x)Функция - Синус от xcos(x)Функция - Косинус от xsinh(x)Функция - Синус гиперболический от xcosh(x)Функция - Косинус гиперболический от xsqrt(x)Функция - Корень из от xx^2Функция - Квадрат xtan(x)Функция - Тангенс от xtanh(x)Функция - Тангенс гиперболический от x

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = 5sin^4(1/16 + x^4 - 1), мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Шаг 1: Применение правила цепной дифференциации Для начала, мы рассмотрим внутреннюю функцию g(x) = 1/16 + x^4 - 1. Ее производная будет g'(x) = 4x^3. Затем мы рассмотрим внешнюю функцию h(x) = sin^4(g(x)). Ее производная будет h'(x) = 4sin^3(g(x))cos(g(x))g'(x).

Шаг 2: Подстановка значений и упрощение Теперь мы можем подставить значения в эти производные: g'(x) = 4x^3 g(x) = 1/16 + x^4 - 1

Таким образом, производная функции f(x) будет: f'(x) = 5 * h'(x) = 5 * (4sin^3(g(x))cos(g(x))g'(x)) = 20sin^3(1/16 + x^4 - 1)cos(1/16 + x^4 - 1) * 4x^3

Упрощение производной

Давайте упростим полученную производную.

f'(x) = 20sin^3(1/16 + x^4 - 1)cos(1/16 + x^4 - 1) * 4x^3

Мы можем упростить эту производную дальше, используя тригонометрические тождества. Точнее, мы можем использовать тождество sin^3(x) = (3sin(x) - sin(3x))/4 и cos(x)cos(y) = (cos(x + y) + cos(x - y))/2.

f'(x) = 20 * ((3sin(1/16 + x^4 - 1) - sin(3(1/16 + x^4 - 1)))/4) * ((cos(1/16 + x^4 - 1 + (1/16 + x^4 - 1))/2) + (cos(1/16 + x^4 - 1 - (1/16 + x^4 - 1))/2)) * 4x^3

Упрощая еще дальше, получим итоговую производную:

f'(x) = 5 * (3sin(1/16 + x^4 - 1) - sin(3(1/16 + x^4 - 1)))) * (cos(2/16 + 2x^4 - 2))/2) * 4x^3

Таким образом, производная функции f(x) = 5sin^4(1/16 + x^4 - 1) равна 5 * (3sin(1/16 + x^4 - 1) - sin(3(1/16 + x^4 - 1)))) * (cos(2/16 + 2x^4 - 2))/2) * 4x^3.