Question

Помогите решить уравнение 16^x - 4 ^ (x+1) - 14 = 0

Answer 1

$16^x - 4 ^ {x+1} - 14 = 0$
$4^{2x} -4* 4 ^ {x} - 14 = 0$
Замена: $4^x=a,$  $a\ \textgreater \ 0$
$a^2-4a-14=0$
$D=(-4)^2-4*1*(-14)=72$
$a_1= \frac{4+ \sqrt{72} }{2} = \frac{4+ 6\sqrt{2} }{2}=2+3 \sqrt{2}$
$a_2= \frac{4- \sqrt{72} }{2} = \frac{4- 6\sqrt{2} }{2}=2-3 \sqrt{2}$  ∅
$4^x=2+3 \sqrt{2}$
$4^x=4^{log_4(2+3 \sqrt{2})}$
$x={log_4(2+3 \sqrt{2})}$

Answer 2

Давайте решим уравнение \(16^x - 4^{(x+1)} - 14 = 0\). Для удобства заменим \(4^{(x+1)}\) на \(2^{(2(x+1))}\), так как \(4 = 2^2\).

Теперь у нас есть уравнение: \(16^x - 2^{2(x+1)} - 14 = 0\).

Теперь давайте преобразим числа в степени с одинаковыми основаниями:

\[ \begin{align*} 2^{4x} - 2^{2(x+1)} - 14 &= 0 \\ \end{align*} \]

Теперь давайте введем новую переменную, скажем, \(y = 2^{2(x+1)}\). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2^{4x} - y - 14 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y\):

\[ y^2 - y - 14 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Факторизуем:

\[ (y - 7)(y + 2) = 0 \]

Таким образом, \(y = 7\) или \(y = -2\).

Теперь вернемся к переменной \(x\) с учетом замены \(y = 2^{2(x+1)}\):

1. Если \(y = 7\), то \(2^{2(x+1)} = 7\). Решив это уравнение, получим \(x\). 2. Если \(y = -2\), то \(2^{2(x+1)} = -2\). Заметим, что это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как \(2^{2(x+1)}\) всегда положительно.

Таким образом, решение уравнения \(16^x - 4^{(x+1)} - 14 = 0\) в действительных числах будет зависеть от решения уравнения \(2^{2(x+1)} = 7\).