Question

Решите пожалуйста систему уравнений x^{4} -y^{4} =15 x^{3}*y-y^{3}*x=6

Answer 1

Имеется 2 действительных корня:
х₁ = -2     у₁ = -1
х₂ = 2     у₂ = 1
Остальные корни - комплексные

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать методы алгебры и аналитической геометрии. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Перепишите систему уравнений

Данная система уравнений выглядит следующим образом: ``` x^4 - y^4 = 15 x^3*y - y^3*x = 6 ```

Шаг 2: Приведите уравнения к более простому виду

Мы можем заметить, что первое уравнение является разностью квадратов, а второе уравнение является разностью кубов. Мы можем привести их к более простому виду, используя факторизацию.

Для первого уравнения, мы можем использовать разность квадратов: ``` (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 15 ```

Для второго уравнения, мы можем использовать разность кубов: ``` (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 6 ```

Шаг 3: Решите каждое уравнение по отдельности

Теперь мы можем решить каждое уравнение по отдельности.

# Решение первого уравнения

``` (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 15 ```

Мы можем заметить, что `(x^2 - y^2)` представляет собой разность квадратов, которую можно факторизовать. Разложим уравнение на множители: ``` (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) = 15 ```

Мы также можем заметить, что `(x^2 + y^2)` не может быть равным нулю, так как это означало бы, что `x = y = 0`, что не является решением нашей системы уравнений.

Теперь у нас есть два уравнения: ``` (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) = 15 (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 6 ```

# Решение второго уравнения

``` (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 6 ```

Мы можем заметить, что `(x - y)` является общим множителем в обоих уравнениях. Мы можем разделить оба уравнения на `(x - y)`: ``` (x + y)(x^2 + y^2) = 15/(x - y) (x^2 + xy + y^2) = 6/(x - y) ```

Шаг 4: Используйте полученные уравнения для решения

Теперь у нас есть два уравнения: ``` (x + y)(x^2 + y^2) = 15/(x - y) (x^2 + xy + y^2) = 6/(x - y) ```

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы избавиться от `(x^2 + y^2)` и `(x + y)`.

# Уравнение 1: `(x + y)(x^2 + y^2) = 15/(x - y)`

Разделим оба уравнения: ``` (x + y)(x^2 + y^2) / (x^2 + xy + y^2) = 15/(x - y) / (6/(x - y)) (x + y) / (x^2 + xy + y^2) = 15/6 (x + y) / (x^2 + xy + y^2) = 2.5 ```

# Уравнение 2: `(x^2 + xy + y^2) = 6/(x - y)`

``` (x^2 + xy + y^2) = 6/(x - y) ```

Теперь у нас есть два уравнения: ``` (x + y) / (x^2 + xy + y^2) = 2.5 (x^2 + xy + y^2) = 6/(x - y) ```

Шаг 5: Решите полученную систему уравнений

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого, давайте рассмотрим два случая.

# Случай 1: x = y

Если `x = y`, то второе уравнение превращается в: ``` (x^2 + xy + y^2) = 6/(x - y) (3x^2) = 6/(x - y) ``` Таким образом, `(x - y)` не может быть равным нулю, иначе мы получим деление на ноль. Решив уравнение, мы получим: ``` 3x^2 = 6 x^2 = 2 x = ±√2 ``` Таким образом, возможны два решения: `(x, y) = (√2, √2)` и `(x, y) = (-√2, -√2)`.

# Случай 2: x ≠ y

Если `x ≠ y`, то у нас есть два уравнения: ``` (x + y) / (x^2 + xy + y^2) = 2.5 (x^2 + xy + y^2) = 6/(x - y) ``` Мы можем использовать первое уравнение, чтобы избавиться от `(x + y)` во втором уравнении: ``` 2.5(x^2 + xy + y^2) = 6/(x - y) ``` Распишем уравнение: ``` 2.5x^2 + 2.5xy + 2.5y^2 = 6/(x - y) ``` Умножим оба уравнения на `(x - y)`: ``` 2.5x^2(x - y) + 2.5xy(x - y) + 2.5y^2(x - y) = 6 2.5x^3 - 2.5xy^2 + 2.5xy^2 - 2.5y^3 + 2.5x^2y - 2.5xy^2 = 6 2.5x^3 - 2.5y^3 + 2.5x^2y - 2.5xy^2 = 6 ``` Теперь у нас есть одно уравнение, которое можно решить численно или с помощью методов аналитической геометрии.

В обоих случаях, мы получили несколько решений для системы уравнений `x^4 - y^4 = 15` и `x^3*y - y^3*x = 6`. Значения `(x, y) = (√2, √2)`, `(-√2, -√2)` и другие решения, полученные из последнего уравнения, являются решениями данной системы уравнений.