Question

Докажите равенствоcoscoscos=

Answer 1

Нестандартное доказательство 
Как  известно по теореме Виета для кубического уравнения для корней справедливо такое соотношение , если $x_{1};x_{2};x_{3}\\ x_{1}*x_{2}*x_{3}=\frac{a}{d}$
где уравнение 
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
то есть нам надо что бы числа $x_{1}=cos\frac{\pi}{7}\\ x_{2}=cos\frac{4\pi}{7}\\ x_{3}=cos\frac{5\pi}{7}$  были корнями  уравнения ! 
воспользуемся тем что 
$cos\frac{\pi}{7}=-cos\frac{6\pi}{7}$
разложим левую часть в такой вид 
$cos\frac{\pi}{7}=sin^6\frac{\pi}{7}-cos^6\frac{\pi}{7}$$+15sin^2\frac{\pi}{7}*cos^4\frac{\pi}{7}-15sin^4\frac{\pi}{7}*cos^2\frac{\pi}{7}$
преобразуем его в такой вид 
$cos\frac{pi}{7}=(1-cos^2\frac{\pi}{7})^3-cos^6\frac{\pi}{7}+$$15(1-cos^2\frac{\pi}{7})*cos^4\frac{\pi}{7}-15(1-cos^2\frac{\pi}{7})^2*cos^2\frac{\pi}{7}$
теперь положим $cos\frac{\pi}{7}=x$ получим уравнение 
$(1-x^2)^3-x^6+15(1-x^2)*x^4-15(1-x^2)^2*x^2-x=$
она равна   
$(1-x)(4x^2-2x-1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0\\ 8x^3-4x^2-4x+1=0$
теперь корни это кубического уравнения будут числа 
$-cos\frac{4\pi}{7}$ 
$cos\frac{\pi}{7}$
$cos\frac{5\pi}{7}$
и как ранее было сказано достаточно поделить  
$cos\frac{\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}=\frac{1}{8}$