Question

Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Answer 1

Если один катет равен х, то второй равен (6-х). Тогда составим функцию у=S(х), выражающую зависимость площадь от значения x:
$y= \frac{1}{2} \cdot x\cdot(6-x)=\frac{1}{2} (6x-x^2)$
Исследуем функцию на экстремум:
$y'=\frac{1}{2} (6-2x) \\\ y'=0: \\\ \frac{1}{2} (6-2x)=0 \\\ 6-2x=0 \\\ x=3$
Так как при переходе через точку х=3 производная меняет свой знак с"+" на "-", то х=3 - точка максимума. Значит при х=3 треугольник имеет наибольшую площадь. Но так как 6-х=6-3=3, то есть две стороны треугольника равны, то получаем, что наибольшая площадь у равнобедренного треугольника, которая равна $S= \frac{1}{2} \cdot 3\cdot 3=4.5$