Question

Решите пожалуйста систему ! (x+y)(x-2y)^4=81 и (x+y)^6(x-2y)^3=27

Answer 1

$(x+y)(x-2y)^4=81$
$(x+y)^6(x-2y)^3=27$

обозначим $x+y=a; x-2y=b$
тогда $(x+y)-(x-2y)=a-b;x+y-x+2y=a-b;3y=a-b;y=\frac{a-b}{3}$
$2(x+y)+(x-2y)=2a+b;2x+2y+x-2y=2a+b;3x=2a+b;x=\frac{2a+b}{3}$

система перепишется в виде:
$ab^4=81$(1)
$a^6b^3=27$(2)

разделив л.ч и п.ч первого уравнения соответственно на л.ч. и п.ч. второго уравнения, получим
$\frac{b}{a^5}=\frac{81}{27}$
$b=3a^5$ (3)

подставив (3) в (1) получим
$a*(3a^5)^4=81$
$a*81*a^{20}=81$
$a^{1+20}=1$
$a^{21}=1;$
$a=1$
$b=3a^5=3*1^5=3$

возвращаемся к замене
$x=\frac{2a+b}{3}=\frac{2*1+3}{3}=\frac{5}{3}$
$y=\frac{a-b}{3}=\frac{1-3}{3}=-\frac{2}{3}$

ответ: $(\frac{5}{3};-\frac{2}{3})$