Question

В возрастающей геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, сумма первого и последнего и последнего равна 66, произведение второго и пятого членов равно 128. Найдите сумму всех членов. Пожалуйста помогите, очень нужно. Заранее спасибо!

Answer 1

Формула для нахождения суммы возрастающей геом. прогресии:
$S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$
Нам нужно найти: $b_1, q$
По условию: 
$\left \{ {{b_1+b_6=66} \atop {b_2*b_5=128}} \right.$
Формула для нахождения членов геом. прогрессии: $b_n=b_1*q^{n-1}$.
Теперь можно подставить b1 и q в системе, вместо b2 и b5, b6:
$\left \{ {{b_1+b_1q^5=66} \atop {b_1q*b_1q^4=128}} \right.$
И вот у нас готовая система с двумя неизвестными и двумя переменными.. Решается, как обычная система уравнений:
Из первого уравнения в системе выражаем b1:
$\left \{ {{b_1= \frac{66}{1+q^5} } \atop {( \frac{66}{1+q^5})^2*q^5 =128}} \right.$
Теперь решаем второе уравнение(напишу его отдельно):
$( \frac{66}{1+q^5})^2*q^5 =128 \\ \frac{66^2q^5-128(1+q^5)^2}{(1+q^5)^2} =0$
Пишем ОДЗ, и не забываем, что q>1, так как геом. прогрессия возрастающая:
$\left \{ {{q>1} \atop {(1+q^5)^2 \neq 0}} \right. \\ \left \{ {{q>1} \atop {q \neq -1}} \right. \\ q>1$
Раскрыв скобки и приведя общие члены получаем:
$128q^{10}-4100q^5+128=0 \\ 32q^{10}-1025q^5+32=0$
Можно ввести новую переменную:
$q^5=y;q^{10}=y^2$
$32y^2-1025y+32=0 \\ y_1= \frac{1}{32} \\ y_2=32$
Делаем обратную замену:
$q_1^5= \frac{1}{32} \\ q_2^5=32$
Не забываем про ОДЗ:
$q^5=32 \\ q=2$
Вернёмся к нашей системе:
$\left \{ {{b_1= \frac{66}{1+q^5} } \atop {q=2}} \right. \\ \left \{ {{b_1=2} \atop {q=2}} \right.$
И наконец находим сумму всех членов прогрессии:
$S_6= \frac{b_1(1-q^6)}{1-q} = \frac{2(1-64)}{1-2} =128$
Ответ: Сумма 6 членов геом. прогресии = 128