Question

Помогите, решить. Подробно.

Answer 1

$\log_{(x-3)^2}(3x^2+7x+1)\geq0$

 

ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{l} 3x^2+7x+1\ \textgreater \ 0 \\ (x-3)^2\ \textgreater \ 0 \\ (x-3)^2 \neq 1\end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} 3x^2+7x+1\ \textgreater \ 0 \\ x-3 \neq 0 \\ x-3 \neq 1 \\ x-3 \neq -1\end{array}$

Решаем первое неравенство:

$3x^2+7x+1\ \textgreater \ 0 \\\ 3x^2+7x+1=0 \\\ D=7^2-4\cdot3\cdot1=37 \\\ x_{12}= \dfrac{-7\pm \sqrt{37} }{6} \\\ \Rightarrow x\in\left(-\infty; \dfrac{-7-\sqrt{37} }{6} \right)\cup\left(\dfrac{-7+\sqrt{37} }{6} ;+\infty\right)$

Объединяем ОДЗ в одну систему:

$\left\{\begin{array}{l} x\in\left(-\infty; \dfrac{-7-\sqrt{37} }{6} \right)\cup\left(\dfrac{-7+\sqrt{37} }{6} ;+\infty\right) \\ x \neq 2;3;4\end{array}$

 

Решаем исходное неравенство. Преобразуем исходный логарифм:

$\dfrac{\ln(3x^2+7x+1)}{\ln(x-3)^2} \geq 0$

Вычтем из числителя и знаменателя по нулю:

$\dfrac{\ln(3x^2+7x+1)-0}{\ln(x-3)^2-0} \geq 0$

И представим эти нули в виде логарифмов:

$\dfrac{\ln(3x^2+7x+1)-\ln1}{\ln(x-3)^2-\ln1} \geq 0$

Учитывая возрастание функции $y=\ln x$ на всей области определения, можно перейти к неравенству:

$\dfrac{(3x^2+7x+1)-1}{(x-3)^2-1} \geq 0$

$\dfrac{3x^2+7x}{x^2-6x+8} \geq 0$

$\dfrac{3x(x+ \frac{7}{3}) }{(x-2)(x-4)} \geq 0$

Неравенство решаем методом интервалов (картинка):

$x\in(-\infty; \frac{7}{3} ]\cup[0;2)\cup(4;+\infty)$

 

Отчетливо видно, что второе ОДЗ выполняется: числа 2, 3, 4 в решение не попали. Проверить первое условие можно с помощью приближенных вычисления или более точными методами.

Оценим значение выражения $\dfrac{-7-\sqrt{37} }{6}$

$\sqrt{36} \ \textless \ \sqrt{37} \ \textless \ \sqrt{49} \\\ 6 \ \textless \ \sqrt{37} \ \textless \ 7 \\\ -7 \ \textless \ -\sqrt{37} \ \textless \ -6 \\\ -14\ \textless \ -7-\sqrt{37} \ \textless \ -13 \\\ -\dfrac{14}{6} \ \textless \ \dfrac{-7-\sqrt{37}}{6} \ \textless \ - \dfrac{13}{6} \\\ -\dfrac{7}{3} \ \textless \ \dfrac{-7-\sqrt{37}}{6} \ \textless \ - \dfrac{13}{6}$

То есть число $\dfrac{-7-\sqrt{37}}{6}$ расположено правее числа $- \dfrac{7}{3}$. Рассуждая аналогично, можно понять, что число $\dfrac{-7+\sqrt{37}}{6}$ расположено левее нуля. Таким образом, наложение ОДЗ (картинка) никоим образом не меняет множество найденных решений.

 

Ответ: $x\in(-\infty; \frac{7}{3} ]\cup[0;2)\cup(4;+\infty)$