Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. p=4cos3∅ 3.22 пункт на фото.

Answer 1

Записано уравнение трёхлепестковой розы:

$\rho =4\, cos3\varphi \\\\\rho \geq 0\; \; \Rightarrow \; \; \; cos3\varphi \geq 0\; \; \Rightarrow \; \; -\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq 3\varphi \leq \frac{\pi }{2}+2\pi n \; ,\\\\-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3} \leq \varphi \leq \frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n}{3}\; ,\; n\in Z$

Определим, в каких пределах изменяется угол для каждого из лепестков.

$n=0:\; \; - \frac{\pi }{6} \leq \varphi _1 \leq \frac{\pi }{6}\\\\n=1:\; \; \frac{\pi }{2} \leq \varphi _2 \leq \frac{5\pi }{6}\\\\n=2:\; \; \frac{7\pi }{6}\leq \varphi _3\leq \frac{3\pi }{2}$

Так как фигура симметричная, то найдём площадь одного лепестка, а затем её умножим на 3.

$S_1= \frac{1}{2}\cdot \int\limits^{ \alpha }_{\beta }\, {\rho ^2(\varphi )}\, d\varphi =\frac{1}{2}\cdot \int\limits^{\frac{\pi}{6}}_{-\frac{\pi}{6}} \, (4cos^23\varphi )\, d\varphi =8 \cdot 2\cdot \int\limits^{\frac{\pi}{6}}_{0}\, \frac{1+cos6\varphi }{2} \, d\varphi =\\\\=8\cdot (\varphi +\frac{1}{6}\cdot sin6\varphi )\Big |_0^{\frac{\pi}{6}}=8\cdot (\frac{\pi}{6}+\frac{1}{6}\cdot \underbrace {sin\pi }_{0})-0= \frac{4\pi }{3}\\\\S=3\cdot S_1=3\cdot \frac{4\pi }{3}=4\pi$