Question

Помогите с алгеброй пожалуйста. 11 класс.

Answer 1

$\frac{sin4x}{tg2x}=\frac{cos^4x-sin^4x}{tg2x}$

ОДЗ:
tg2x≠0
2x≠πk, k∈ Z
x≠πk/2, k∈ Z

Умножаем уравнение на tg2x.
$sin4x=cos^4x-sin^4x$
sin4x=(cos²x-sin²x)*(cos²x+sin²x)
sin4x=cos2x
sin4x-cos2x=0
2sin2x*cos2x-cos2x=0
cos2x*(2sin(2x)-1)=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
cos2x=0                  
x=π/2 +πn, n∈Z - не входит в ОДЗ.

2sin(2x)-1=0
sin2x=1/2
2x=(-1)^m *π/6+πm, m∈Z
x=(-1)^m *π/12+πm/2, m∈Z

Ответ: x=(-1)^m *π/12+πm/2, m∈Z







2)
$\frac{6cos^2x-cosx-2}{\sqrt{-sinx}}=0$

ОДЗ:
-sinx>0
sinx<0
x∈(-π+2πk;2πk), k∈Z

Умножаем уравнение на $\sqrt{-sinx}$.
6сos²x-cosx-2=0
cosx=t, |t|≤1
6t²-t-2=0
D=1+4*2*6=49
x1=(1+7)/12=8/12=2/3
x2=(1-7)/12=-1/2

Возвращаемся к замене.
cosx=2/3
x=arccos(2/3)+2πn,n∈Z  - не входит в ОДЗ.                    
x=-arccos(2/3)+2πn,n∈Z - входит в ОДЗ.

cosx=-1/2
x=2π/3 +2πm,m∉Z - не входит в ОДЗ.
x=-2π/3 +2πm,m∉Z - входит в ОДЗ

Ответ: x=-arccos(2/3)+2πn,n∈Z ; x=-2π/3+2πm,m∈Z







3)
$\frac{2sin^2x-sinx-1}{\sqrt{-cosx}}=0$

ОДЗ:
-cosx>0
cosx<0
x∈(π/2 +2πn;3π/2 +2πn), n∉Z

Умножаем уравнение на $\sqrt{-cosx}$:
2sin²x-sinx-1=0
sinx=t, |t|≤0
2t²-t-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
x1=(1+3)/4=1
x2=(1-3)/4=-1/2

Возвращаемся к замене:
sinx=1
x=π/2 +2πn, n∈Z - не входит в ОДЗ.

sinx=-1/2
x=(-1)^m *(-π/6)+πm,m∈Z - входит в ОДЗ, если m - нечётные.
Ответ: x=(-1)^m *(-π/6)+πm, m=...-3,-1,1,3...