Question

Cosxctgx+cosx-ctgx=1

Answer 1

Умножив левую и правую части уравнения на $\sin x\ne 0$, находим

$\cos^2x+\sin x\cos x-\cos x=\sin x\\ \\ \bigg(\cos^2x+\sin x\cos x\bigg)-\bigg(\cos x+\sin x\bigg)=0\\ \\ \cos x\bigg(\cos x+\sin x\bigg)-\bigg(\cos x+\sin x\bigg)=0\\ \\ \bigg(\cos x+\sin x\bigg)\bigg(\cos x-1\bigg)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\cos x+\sin x=0;~~~~ tgx=-1;~~~~~x=- \dfrac{\pi}{4} + \pi n,n \in \mathbb{Z}$

или $\cos x-1=0,~~~~\cos x=1,~~~~~ x=2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$


ОТВЕТ: $- \dfrac{\pi}{4} + \pi n,\, 2\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства функций.

Давайте преобразуем выражение постепенно:

cos(x)*ctg(x) + cos(x) - ctg(x) = 1

Раскроем ctg(x) как 1/tg(x):

cos(x)*(1/tg(x)) + cos(x) - 1/tg(x) = 1

Упростим выражение, переместив общий знаменатель:

cos(x)*(1 - tg(x)) + (1 - cos(x))/tg(x) = 1

Упростим дроби:

( cos(x) - cos(x)*tg(x) + 1 - cos(x) )/tg(x) = 1

Сократим одинаковые слагаемые:

(1 - cos(x)*tg(x))/tg(x) = 1

Умножим обе части на tg(x):

1 - cos(x)*tg(x) = tg(x)

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

cos(x)*tg(x) + tg(x) - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной tg(x). Пусть tg(x) = t, тогда уравнение примет вид:

t^2 + t - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5

t1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √5) / 2

Таким образом, получаем два возможных значения для tg(x):

tg(x) = (-1 + √5) / 2 или tg(x) = (-1 - √5) / 2

Теперь, чтобы найти значения самой переменной x, мы можем воспользоваться обратными функциями тангенса:

x = arctg((-1 + √5) / 2) или x = arctg((-1 - √5) / 2)

Таким образом, уравнение cos(x)*ctg(x) + cos(x) - ctg(x) = 1 имеет два решения:

x = arctg((-1 + √5) / 2) и x = arctg((-1 - √5) / 2)